Circumferència inscrita

La circumferència inscrita (o de vegades, el cercle inscrit o incercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que és tangent a tots els costats d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena incentre, i el seu radi s'anomena inradi. Un polígon que té una circumferència inscrita s'anomena polígon tangencial; tots els polígons regulars simples i tots els triangles són polígons tangencials.

L'incentre d'un polígon tangencial equidista de tots els seus costats i, per tant, és la intersecció de les bisectrius dels angles d'aquest polígon.

Com que l'incentre ${\displaystyle I}$ d'un triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ equidista dels seus costats ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c}$, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ amb centre a l'incentre ${\displaystyle I}$ i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incercle). El radi de la circumferència inscrita, ${\displaystyle r}$, és l'inradi.

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles). Els respectius radis, ${\displaystyle r_{A}}$, ${\displaystyle r_{B}}$ i ${\displaystyle r_{C}}$, són els exinradis o exradis.

L'inradi i els exinradis tenen una relació senzilla amb l'àrea del triangle:

El triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ descompon en els triangles ${\displaystyle \triangle AIB}$, ${\displaystyle \triangle BIC}$ i ${\displaystyle \triangle AIC}$. A cadascun d'aquests tres triangles podem considerar que un costat n'es la base i l'inradi ${\displaystyle r}$ n'es l'altura, així, doncs, si ${\displaystyle S}$ és l'àrea del triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$,

${\displaystyle S={\dfrac {ar}{2}}+{\dfrac {br}{2}}+{\dfrac {cr}{2}}={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}}$

o sigui,

${\displaystyle r={\dfrac {2S}{a+b+c}}}$

Igualment, el quadrilàter ${\displaystyle AI_{C}BC}$ descompon en els triangles ${\displaystyle \triangle AI_{C}C}$ de base ${\displaystyle b}$, i ${\displaystyle \triangle BI_{C}C}$ de base ${\displaystyle a}$, tots dos d'altura l'exinradi ${\displaystyle r_{C}}$. Si aquest quadrilàter li treiem el triangle ${\displaystyle \triangle AI_{C}B}$, de base ${\displaystyle c}$ i altura ${\displaystyle r_{C}}$, obtenim el triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$. Resulta:

${\displaystyle S={\dfrac {br_{C}}{2}}+{\dfrac {ar_{C}}{2}}-{\dfrac {cr_{C}}{2}}={\dfrac {(a+b-c)r_{C}}{2}}}$

Consideracions similars pels altres dos exincentres ${\displaystyle I_{A}}$ i ${\displaystyle I_{B}}$ porten a

${\displaystyle r_{A}={\dfrac {2S}{-a+b+c}},\qquad r_{B}={\dfrac {2S}{a-b+c}},\qquad r_{C}={\dfrac {2S}{a+b-c}}}$

D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències exinscrites són sempre més grans que la inscrita al triangle, i que la més gran de totes és la circumferència exinscrita tangent al costat més llarg.

Si ${\displaystyle R}$ és el circumradi d'un triangle ${\displaystyle \triangle ABC}$ d'àrea ${\displaystyle S}$,

${\displaystyle S={\dfrac {abc}{4R}}}$

Aleshores, de

${\displaystyle S={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}={\dfrac {(-a+b+c)r_{A}}{2}}={\dfrac {(a-b+c)r_{B}}{2}}={\dfrac {(a+b-c)r_{C}}{2}}={\dfrac {abc}{4R}}}$

resulta

${\displaystyle {\dfrac {abc}{a+b+c}}=2rR,\qquad {\dfrac {abc}{-a+b+c}}=2r_{A}R,\qquad {\dfrac {abc}{a-b+c}}=2r_{B}R,\qquad {\dfrac {abc}{a+b-c}}=2r_{C}R}$

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

• «Circumferència inscrita». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
• Weisstein, Eric W., «Incircle» a MathWorld (en anglès).