Racionalni broj

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija. Pogledajte kako poboljšati članak, kliknite na link uredi i doradite članak vodeći računa o jezičkim i stilskim standardima Wikipedije. Ako niste sigurni kako bi članak trebao izgledati, pogledajte neke od dobrih članaka.

Racionalni brojevi su svi mogući brojevi koje možemo napisati u obliku razlomaka, tj. a/b, gdje je a cijeli broj, koji zovemo brojnikom, a b je prirodan broj, koji nazivamo nazivnikom.

Skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek bila moguća na skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Ako su a,b,c${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva: Skup racionalnih brojeva${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ x ${\displaystyle \mathbb {N} }$, odnosno ${\displaystyle \mathbb {Q} }$={m/n: m${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$, n${\displaystyle \in \mathbb {N} }$} Dok su skupovi ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskretni, skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je gust (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Za brojanje raznih predmeta i životinja dovoljni su cijeli brojevi, djeca broje jabuke i kruške, također, cijelim brojevima, ali ako jednu jabuku treba da podijeli dvoje djece onda je svako od njih dobio pola jabuke . To pišemo sa 1/2.

Da je trebalo jabuku dijeliti na tri dijela, pisali bi da je svatko dobio 1/3 jabuke.
Dakle, skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Ako su a,b,c${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$ kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji
cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva:

Skup racionalnih brojeva${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je skup svih klasa ekvivalencije
na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ x ${\displaystyle \mathbb {N} }$, odnosno ${\displaystyle \mathbb {Q} }$={m/n: m${\displaystyle \in \mathbb {Z} }$, n${\displaystyle \in \mathbb {N} }$} Dok su skupovi ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskretni, skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Skup racionalnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je skup svih klasa ekvivalencije na skupu ${\displaystyle \mathbb {Z} x\mathbb {N} ,}$ odnosno

${\displaystyle \mathbb {Q} =}$ {${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$}

Dok su skupovi ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ diskretni, skup ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

U skupu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definisano je sabiranje

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$ za ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle d\neq 0}$

Radi lakšeg pisanja uvedimo oznaku

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=r}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=r_{2}+r_{1}}$ komutativnost

${\displaystyle (r_{1}+r_{2})+r_{3}=r_{1}+(r_{2}+r_{3})}$ asocijativost

${\displaystyle r+(-r)=0}$ inverzan broj

Brojevi ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ i ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ su suprotni

${\displaystyle r+0=r}$ neutralan elemenat

Kao i u skupu cijelih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ oduzimanje se svodi na sabiranje

${\displaystyle r_{1}-r_{2}=r_{1}+(-r_{2})}$

U skupu ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definisano je množenje

${\displaystyle {\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$ za ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle d\neq 0}$

${\displaystyle r_{1}*r_{2}=r_{2}*r_{1}}$ komutativnost

${\displaystyle (r_{1}*r_{2})*r_{3}=r_{1}*(r_{2}*r_{3})}$ asocijativnost

${\displaystyle r*{\frac {1}{r}}=1}$ inverzan broj

${\displaystyle r*1=r}$ neutralan elemenat

${\displaystyle r*(-1)=-r}$

${\displaystyle r*0=0}$

${\displaystyle {\frac {0}{a}}=0}$

${\displaystyle r_{1}(r_{2}+r_{3})=r_{1}*r_{2}+r_{1}*r_{3}}$ distribucija množenja u odnosu na dijeljenje

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}*{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}=>ad<bc}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}=>ad=bc}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}=>ad>bc}$

Dvojni razlomak

${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {am}{bm}}}$ proširivanje razlomaka

${\displaystyle {\frac {an}{bn}}={\frac {a}{b}}}$ skraćivanje razlomaka

Commons ima datoteke na temu: Racionalni broj