Функция на Хевисайд

За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел.

Функцията на Хевисайд (единичната прагова функция, функция на единичния скок) е функция, равна на нула за отрицателни стойности на аргумента и единица – за положителни. В нулата тази функция е неопределена, обаче обикновено я доопределят с някое число, така че областта на определението на функцията да съдържа в себе си всички точки от числовата ос. Най-често стойността на функцията в нулата не е важна, затова се използват различни определения на функцията на Хевисайд, удобни по едни или други съображения, например

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\\displaystyle {\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

Друго разпространено определение:

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0\end{cases}}}$

Функцията на Хевисайд се използва широко в математическия апарат на теорията на управлението и теорията на сигналите за представяне на сигнали, преминаващи в определен момент от времето от едно състояние в друго. В математическата статистика тази функция се прилага, например, за запис на емпиричната функция на разпределението. Наречена е в чест на Оливър Хевисайд.

Функцията на Хевисайд представлява интегрираната функция за делта-функцията на Дирак, ${\displaystyle H'=\delta }$, която може да се запише и като:

${\displaystyle H(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!\delta (t)\,dt}$

Дискретната функция на Хевисайд може да се дефинира като функция от целочисления аргумент ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0;\\1,&n\geqslant 0,\end{cases}}}$

където ${\displaystyle n}$ е цяло число.

Дискретният единичен импулс представлява първата производна на дискретната функция на Хевисайд:

${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$

За по-удобно използване на функцията на Хевисайд може да се апроксимира с помощта на непрекъсната функция:

${\displaystyle H(x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {th} \,kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$

където на по-голямо ${\displaystyle k}$ съответства по-стръмен наклон на функцията в точката ${\displaystyle x=0}$. Ако приемем, че ${\displaystyle H(0)=1/2}$, Уравнението може да бъде написано в гранична форма:

Често се използва и е полезна интегралната форма на запис на единичната функция:

${\displaystyle H(x)=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\limits \!{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }\,d\tau }$

Стойността на функцията в нулата често се задава като ${\displaystyle H(0)=0}$, ${\displaystyle H(0)=1/2}$ или ${\displaystyle H(0)=1}$. ${\displaystyle H(0)=1/2}$ е най-употребяваният вариант, тъй като по съображения за симетрия в точката на прекъсване от първи род е удобно да доопределим функцията със средно аритметично, съответстващо на еднострани граници, а освен това в този случай функцията на Хевисайд е свързана с функция на знака:

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\\displaystyle {\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}$

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn} x\right)}$

Стойността в нулата може да се запише явно чрез функцията:

${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0;\\n,&x=0;\\1,&x>0.\end{cases}}}$

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\,\mathrm {th} \,kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$

Съществуват няколко други апроксимации чрез непрекъснати функции:

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,kx\right)\ }$

${\displaystyle H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {erf} \,kx\right).}$

Производната на функцията на Хевисайд е равна на делта-функцията (т.е. функцията на Хевисайд е интегрирана делта-функция):

${\displaystyle H(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!\delta (t)\,dt}$.

Следователно, като приложим преобразуването на Фурие към интегрираната делта-функция ${\displaystyle ~H(t)}$, получаваме изображението ѝ от вида:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega ),}$

т.е.:

${\displaystyle H(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!\left({\frac {1}{2\pi i\omega }}+{\frac {1}{2}}\delta (\omega )\right)e^{i\omega t}\,d\omega }$

(вторият член съответства на нулева честота в разлагането и описва постоянното преместване на функцията на Хевисайд нагоре; без него би се получила нечетна функция).