Спіс лімітаў

Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.

Калі функцыя f(x) непарыўная ў пункце x₀, то яе ліміт пры імкненні x да x₀ роўны значэнню функцыі ў гэтым пункце:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).}$

Няхай існуюць ліміты ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$ і ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$. Тады

• ліміт сумы роўны суме лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=L_{1}+L_{2},}$

• ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=L_{1}-L_{2},}$

• ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}$

Няхай ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}\neq 0.}$ Тады

• ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў

  ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.}$

Няхай ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}>0.}$ Тады

• ліміт ступені існуе і роўны

  ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=L_{1}^{L_{2}}.}$

Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

Калі ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}$ і ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0,}$ і існуе ліміт дзелі іх вытворных

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

то

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}={\begin{cases}\operatorname {sgn}[{a_{0} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&k>r,\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&k=r,\\0,&k<r.\end{cases}}}$

Словазлучэнне грунтоўныя ліміты^[1][2] (руск.: замечательные пределы) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе^[3].

• Першы грунтоўны ліміт (руск.: первый замечательный предел)

  ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$

• Другі грунтоўны ліміт (руск.: второй замечательный предел)

  ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

Заўвага 1. Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.

Заўвага 2. Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{\sin(bx)}}={\frac {a}{b}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} (x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} (x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}={\frac {1}{\ln a}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{x}}=\alpha }$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}}$ (формула Уоліса)^[4]

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$

У гэтым падраздзеле прыведзены ліміты выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору «функцыя ў ступені функцыя». Гэтыя ліміты адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{\alpha }}{a^{n}}}=0,\qquad (a>1)}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n!}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln n}{n}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {(\ln n)^{q}}{n^{\alpha }}}=0,\qquad (\alpha >0)}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\qquad (a>0)}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{\alpha }\ln x=0,\qquad (\alpha >0)}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{x}=1}$

Для любога камплекснага z паказнікавую функцыю можна вызначыць як

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}}$

• Для любых камплексных z праўдзіцца формула Ойлера-Гауса^[5]

  ${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots (z+n)}}}$

• Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці пры Re z > 1 вызначаецца як ліміт^[4]

  ${\displaystyle \zeta (z):=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n^{z}}}}$