Teoría de Galois

En matemátiques, la teoría de Galois ye una coleición de resultancies que conecten la teoría de cuerpos cola teoría de grupos. La teoría de Galois tien aplicación a diversos problemes de la teoría de cuerpos, y que gracies a esti desenvolvimientu, pueden ser amenorgaos a problemes más senciellos de la teoría de grupos. La teoría de Galois debe'l so nome al matemáticu francés Évariste Galois (1811-1832), fináu a la edá de 20 años.

La nacencia de la teoría de Galois tuvo motivada pol intentu de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué nun esiste una fórmula pa la resolución d'ecuaciones polinómiques de quintu grau (o cimeru) en términos de los coeficientes del polinomiu, usando operaciones alxebraiques (suma, resta, multiplicación, división) y l'estracción de raigaños (raigaños cuadraos, cúbiques, etc); tal como esiste pa les ecuaciones de segundu, tercer y cuartu grau?

El teorema d'Abel-Ruffini que ye parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta entruga. La teoría de Galois apurre non yá una elegante respuesta a esta cuestión, sinón que tamién esplica en detalle por qué ye posible resolver ecuaciones de grau inferior al quintu, y por qué les soluciones son expresables por aciu operaciones alxebraiques y estracción de raigaños.

Amás la teoría de Galois apurre respuestes a problemes clásicos de la constructibilidad por aciu regla y compás. Ello ye que la teoría de Galois establez cuándo ye posible construyir un ciertu llargor proporcional a una dada, y gracies a eso pueden respondese a les siguientes entrugues:

¿Qué polígonos regulares son construibles por aciu regla y compás?

¿Por qué nun ye posible la trisección d'un ángulu?

Si tenemos un polinomiu puede asoceder que dalgunes de los sos raigaños tean rellacionaes por aciu delles ecuaciones alxebraiques, que cumplan diches raigaños. Por casu, puede asoceder que pa dos de los raigaños, digamos A y B, la ecuación A² + 5B³ = 7 sía cierta. La idea central de la teoría de Galois ye'l considerar aquelles permutaciones (o arreglos) de los raigaños que tengan la propiedá de que cualquier ecuación alxebraica satisfecha por elles sía satisfecha tamién tres la permutación o l'arreglu. Ye importante señalar qu'acutamos a ecuaciones alxebraiques que los sos coeficientes son númberos racionales. (Pueden especificase ciertos cuerpos pa los coeficientes, pero nos exemplos de baxo van ser los númberos racionales los qu'usemos.)

El conxuntu de tales permutaciones van formar un grupu de permutaciones, tamién llamáu Grupu de Galois del polinomiu (sobre los númberos racionales). Un exemplu:

Sía la ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0}$

Por aciu l'usu de la fórmula pa la ecuación cuadrática sabemos que los sos dos raigaños son

${\displaystyle A=2+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B=2-{\sqrt {3}}}$

Dalgunes de les ecuaciones alxebraiques que satisfaen A y B son

${\displaystyle A+B=4}$

${\displaystyle AB=1}$

En caúna d'estes ecuaciones ye claro que si intercambiamos los papeles de A y B llogramos ecuaciones válides. Pero amás esto ye ciertu, anque menos obviu, pa cualesquier ecuación alxebraica que satisfaen A y B. Pa probalo riquir de la teoría de los polinomios simétricos.

Concluyimos que'l grupu de Galois del polinomiu ${\displaystyle x^{2}-4x+1}$ consiste en dos permutaciones: la identidá que dexa A y B invariantes, y la transposición, qu'intercambia A y B. Como grupu, ye isomorfu al grupu cíclicu d'orde dos, denotado Z/2Z.

Podríamos plantegar la oxeción de qu'esiste esta otra ecuación satisfecha por A y B:

${\displaystyle A-B-2{\sqrt {3}}=0}$

pero que nun ye cierta cuando intercambiamos los papeles. Sicasí hemos de reparar que nun nos importa pos los sos coeficientes nun son racionales; ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ye irracional.

De forma asemeyada podemos falar de cualquier polinomiu cuadrático ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$, onde a, b y c son númberos racionales.

• Si'l polinomiu tien namái un raigañu, por casu ${\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}}$, entós el grupu de Galois ye trivial; esto ye, contién namái a la permutación identidá.
• Si tien dos distintes raigaños racionales, por casu ${\displaystyle x^{2}-3x+2=(x-2)(x-1)}$, el grupu ye de nuevu trivial.
• Si tien dos raíz irracionales (inclusive el casu nel que dambes son númberos complexos), entós el grupu de Galois contién dos permutaciones, como nel exemplu anterior.

Considérese'l siguiente polinomiu:

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1}$, que puede escribise tamién

como:

${\displaystyle (x^{2}-5)^{2}-24}$

Deseyamos describir el grupu de Galois d'esti polinomiu, nuevamente sobre'l cuerpu de los númberos racionales. El polinomiu tien cuatro raíz:

${\displaystyle A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.}$

Esisten 4! = 24 maneres de permutar estes cuatro raíz, pero non toes estes permutaciones son miembros del grupu de Galois. Los miembros del grupu de Galois tien de caltener cualquier ecuación alxebraica con coeficientes racionales A, B, C y D. Una de diches ecuaciones ye por casu:

${\displaystyle A+D=0}$.

Yá que yá que

${\displaystyle A+C=2{\sqrt {3}}\neq 0}$, la permutación

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

nun ta permitda, porque tresforma la ecuación válida A + D = 0 na ecuación inválida A + C = ${\displaystyle 2\surd 3}$.

Otra ecuación que los raigaños satisfaen ye:

${\displaystyle (A+B)^{2}=8}$.

Esto escluyiría más permutaciones, como por casu:

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Siguiendo d'esta manera, podemos atopar que les úniques permutaciones que satisfaen los dos ecuaciones anteriores simultáneamente son:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A), y por tanto'l

grupu de Galois ye isomorfu al grupu de Klein.

Dizse qu'un raigañu α puede espresase en radicales si α ye elementu d'un cuerpu K tal que ${\displaystyle F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{s}=K}$ onde ${\displaystyle K_{i+1}=K_{i}({\sqrt[{n_{i}}]{a_{i}}})\,\exists \,a_{i}\in K_{i},i=0,1,\ldots ,s-i}$. Una ecuación polinomial ye soluble por radicales si tolos sos raigaños pueden espresase en radicales.^[1] Cola teoría de Galois podemos derivar el siguiente teorema:

El polinomiu f(x) (nel cuerpu F) ye soluble por radicales si y namái si'l so grupu de Galois ye soluble.[2]

El problema inversu de Galois plantega si tou grupu finito pue ser el grupu de Galois de dalguna estensión de los númberos racionales. Esti problema, propuestu primeramente nel sieglu XIX por Hilbert, permanez ensin resolver.^[3]

• Teoría d'ecuaciones

• Baker, A. (2004): An Introduction to Galois Theory Archiváu 2017-09-21 en Wayback Machine, University of Glasgow.
• Völklein, Helmut (1996). Cambridge Studies in Advanced Mathematics: Groups as Galois Groups: an introduction, 1ª (n'inglés), Cambridge: Cambridge University Press, páx. 276. ISBN 0-521-56280-5.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective, 1ª (n'inglés), Providence: American Mathematical Society, páx. 180. ISBN 0-8218-3817-2.