Analís matemáticu

Analís matemáticu
disciplina académica, especialidá y teoría matemática (es)
Matemátiques pures
Más información
Basáu en	cálculu

L'analís ye una caña de la ciencia matemática qu'estudia los númberos reales, los complexos y construcciones derivaes a partir d'ellos, según les funciones ente esos conxuntos y construcciones derivaes. Empezar a desenvolver a partir del entamu de la formulación rigorosa del cálculu y estudia conceutos como la continuidá, la integración y la diferenciabilidad de diverses formes.

Una de les diferencies ente l'álxebra y l'analís ye que nesti segundu recurre a construcciones qu'arreyen socesiones d'un númberu infinitu d'elementos, ente qu'álxebra usualmente ye finitista.

Matemáticos griegos como Eudoxo de Cnidos y Arquímedes fixeron un usu informal de los conceutos de llende y converxencia cuando usaron el métodu refechu pa calcular l'área y volume de rexones y sólidos. Ello ye que el númberu π foi averáu usando'l métodu refechu. Na India del sieglu XII el matemáticu Bhaskara concibió elementos del cálculu diferencial, según el conceutu de lo qu'agora conocemos como'l Teorema de Rolle.

Nel sieglu XIV, l'analís matemáticu aniciar con Madhava, nel Sur d'Asia, quien desenvolvió idees fundamentales como la espansión de series infinites, les series de potencies, series de Taylor, y l'aproximamientu racional de series infinites. Amás desenvolvió les series de Taylor de funciones trigonométriques —senu, cosenu, tanxente—, y envaloró la magnitú de los errores de cálculu atayando estes series. Tamién desenvolvió fracciones continues infinites, integración término a términu, y les serie de potencies de pi. Los sos discípulos de la Escuela de Kerala siguieron el so trabayu hasta'l sieglu XVI.

L'analís n'Europa aniciar nel sieglu sieglu XVII, nel que Newton y Leibniz inventen el cálculu. Agora sabemos que Newton desenvolvió'l cálculu infinitesimal unos diez años primero que Leibniz. Esti postreru facer en 1675 y publicó la so obra en 1684, aproximao venti años primero que Newton decidir a faer lo propio colos sos trabayos. Newton comunicara la novedá solamente a dellos pocos colegues sos y de nada valieron les instigaciones de Halley por que Newton publicara los sos trabayos más tempranamente. Esta actitú sirvió de base pa crear un desagradable discutiniu pol padrinazgo de la idea; discutiniu que podría ser evitada si otru gran matemáticu, Fermat, nun tuviera tamién la inesplicable costume de nun faer públicos los sos trabayos. Nuna carta de Fermat a Roberval, fechada'l 22 d'ochobre de 1636, tópense claramente descritos tanto la xeometría analítica^[1] como l'analís matemáticu.^[2] En dichu sieglu y nel sieglu XVIII, ciertes temes sobre l'analís como'l cálculu de variaciones, les ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivaes parciales, l'analís de Fourier y les funciones xeneradores fueron desenvueltes principalmente pa un trabayu d'aplicación. Les téuniques del Cálculu fueron aplicaes con ésitu nel aproximamientu de problemes discretos por aciu los continuos.

A tou lo llargo del sieglu XVIII la definición del conceutu de función tuvo suxeta a bancia ente los matemáticos. Nel sieglu XIX, Cauchy foi'l primeru qu'estableció'l cálculu sobre unos firmes fundamentos lóxicos por aciu l'usu del conceutu de socesión de Cauchy. Tamién empecipió la teoría formal del Analís complexu. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivaes parciales y el Analís harmónicu.

Mediáu dichu sieglu, Riemann introduz la so teoría de la integración. Nel postreru terciu del sieglu XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del analís, yá que pensaba que'l razonamientu xeométricu yera engañosu por naturaleza, ya introduz la definición ε-δ de llende. Entós los matemáticos empezaron a preguntar si nun taríen asumiendo la esistencia de ciertu continuu de númberos reales ensin probar la so esistencia. Dedekind entós constrúi los númberos reales por aciu les cortadures de Dedekind. Sobre la mesma dómina, los intentos de refinar los teoremas d'integración de Riemann llevaron escontra l'estudiu del tamañu» de los Conxuntu de discontinuidá conxuntos de discontinuidá de funciones reales.

Tamién, funciones «bisarmes» (funciones continues niundes, funciones continues pero non diferenciables en nengún puntu, Curva qu'enllena l'espaciu, Curva de Peano) empezaron a surdir. Nesti contestu Jordan desenvolvió la so teoría de Teoría de la midida midida, Cantor facer colo qu'agora se llama teoría de conxuntos, y Baire prueba'l Teorema de la categoría de Baire. A principios del sieglu XX, el cálculu formalízase usando la teoría de conxuntos. Lebesgue resuelve'l problema de la midida, y Hilbert introduz los espacios de Hilbert pa resolver ecuaciones integrales. La idea d'espacios vectoriales normados tuvo n'acurres, y nos años 1920 Banach crea'l Analís funcional.

Aldericóse enforma cuántes y qué cañes compondríen l'analís, yá que a midida que la disciplina desenvuélvese diverses cañes que primeramente yeren independientes acaben formando parte d'un mesmu cuerpu y n'ocasiones paecen remanecer cañes independientes. L'analís matemáticu inclúi los siguientes campos:

• Analís real, esto ye, l'estudiu formalmente rigorosu de les derivaes ya integrales de les funciones real-valuaes, lo qu'inclúi l'estudiu de llendes, y series.
  • Ecuaciones diferenciales ordinaries y en derivaes parciales
  • Xeometría diferencial, que exitiende los métodos del analís real sobre espacios euclídeos a espacios topolóxicos más xenerales.
  • Integración y teoría de la midida, que xeneraliza en conceutu de cálculu integral y de midida.
  • Teoría de la probabilidá, qu'en gran midida comparte formalismu cola teoría de la midida, a partir de la aximatización de Kolmogórov.
  • Analís numbéricu encarga de diseñar algoritmos para, al traviés de númberos y regles matemátiques simples, asemeyar procesos matemáticos más complexos aplicaos a procesos del mundu real.
• Analís non real, qu'estiende'l análsis real a cuerpos distintos de los númberos reales.
  • Analís complexu, qu'estudia funciones que van del planu complexu escontra sigo mesmu y que son complexu-diferenciables, les funciones holomorfas.
  • Analís p-ádico, l'analís nel contestu de los númberos p-ádicos, que difier de forma interesante y sorprendente del so homólogu real y complexu.
  • Analís non estándar, qu'investiga ciertos númberos hiperreales y les sos funciones y da un tratamientu rigorosu de los númberos infinitesimales y los infinitamente grandes.
• Analís funcional, qu'estudia espacios y funciones ya introduz conceutos como los d'espacios de Banach y espacios de Hilbert.
  • Analís harmónicu, que trata de les series de Fourier y de les sos astracciones^{[ensin referencies]} y amiestes analítiques subarmónicas.
  • Xeometría analítica
• Topoloxía
  • Topoloxía diferencial, que xeneraliza l'analís real y complexu de delles variables a espacios topolóxicos más xenerales que ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ o ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{n}}$.
  • Topoloxía alxebraica
  • Grupos de Lie
• Otres árees:
  • Xeometría alxebraica

• Xeometría diferencial
• Topoloxía diferencial

• Apostol, Tom M. (1960). Analís matemáticu: Introducción moderna al cálculu cimeru. Reverté. ISBN 84-291-5000-5.
• Rei Pastor, Julio (1985). Analís matemáticu: Teoría d'ecuaciones; cálculu infinitesimal d'una variable. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9.
• Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al analís matemáticu. Limusa. ISBN 968-18-0997-1.

• Blogue d'Analís Matemáticu
• «Analís matemáticu» (castellanu). CNICE. Archiváu dende l'orixinal, el 2007-08-24. Consultáu'l 4 de setiembre de 2007.
• Sokolovsky, Silvia. «Matemática: Analís Matemáticu - Álxebra» (castellanu). Archiváu dende l'orixinal, el 2007-08-12. Consultáu'l 4 de setiembre de 2007.