辛群

李群
典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n)
单李群 无限单李群 An, Bn, Cn, Dn 特殊单李群 G2（英语：G2 (mathematics)） F4 E6 E7 E8（英语：E8 (mathematics)）
其他李群（英语：Table of Lie groups） 圆群 劳仑兹群 庞加莱群 共形群（英语：Conformal group） 微分同胚群 圈群（英语：Loop group） 欧几里得群
李代数 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称
半单李代数 丹金图（英语：Dynkin diagram） 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数
群表示论 李群表示 李代数表示（英语：Lie algebra representation）
物理中的李群 粒子物理学与群表示论（英语：Particle physics and representation theory） 洛仑兹群的群表示论（英语：Representation theory of the Lorentz group） 庞加莱群的群表示论（英语：Representation theory of the Poincaré group） 伽利略群的群表示论（英语：Representation theory of the Galilean group）
科学家 索菲斯·李 庞加莱 威廉·基灵 埃利·嘉当 赫尔曼·外尔 克劳德·谢瓦莱 哈里希-钱德拉
查 论 编

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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在数学中，辛群可以指涉两类不同但关系密切的群。在本条目中，我们分别称之为Sp(2n,F)与Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以资区别。许多作者偏好不同的记法，通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定义为F上一个2n维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为Sp(V)。

当n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，当n>1时，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常将域F取为实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$、复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$或非阿基米德局部域，如p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。此时辛群Sp(2n,F)是维度等于${\displaystyle n(2n+1)}$的连通代数群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$是单连通的，而${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$的基本群则同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}$的李代数可以刻划为满足下列条件的2n阶方阵${\displaystyle A}$：

${\displaystyle \Omega A+A^{T}\Omega =0}$

其中${\displaystyle A^{T}}$表示${\displaystyle A}$的转置矩阵，而${\displaystyle \Omega }$是下述反对称矩阵

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 定义为 ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}}$（${\displaystyle \mathbb {H} }$表四元数）上保持标准埃尔米特形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$

之可逆线性变换。换言之，${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 即四元数上的酉群${\displaystyle \mathrm {U} (n,\mathbb {H} )}$。有时此群也被称为超酉群。${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)}$ 即单位四元数构成之群，拓扑上同胚于三维球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 并不同构于之前定义的 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$。下节将解释其间的联系。

${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 是 ${\displaystyle n(2n+1)}$ 维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

${\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}$

其李代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$

其中 ${\displaystyle A^{\dagger }}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ 有时称为酉辛群，记为 ${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)}$

以上定义之${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$与${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作${\displaystyle C_{n}}$。此李代数也就是复李群${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$之李代数，记作${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )}$。它有两个不同的实形式：

1. 紧致形式${\displaystyle \mathrm {sp} (n)}$，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$之李代数。
2. 正规形式${\displaystyle \mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )}$，即${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$。

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、辛符号
• 哈密顿力学