龐加萊圓盤模型

如果 u 和 v 是賦以通常歐幾里得範數的 n 維向量空間 Rⁿ 中兩個向量，兩者範數都小於 1，則我們可以定義一個等距不變量為：

${\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {||u-v||^{2}}{(1-||u||^{2})(1-||v||^{2})}},\,}$ 

這裡 ||*|| 表示通常的歐幾里得範數。那麼距離函數是

${\displaystyle d(u,v)=\operatorname {arccosh} (1+\delta (u,v)).\,}$ 

這樣的距離函數對任何兩個範數小於 1 的向量有定義，將這樣的向量集合變為一個度量空間，這是一個具有常曲率 -1 的雙曲空間模型。這個模型具有共形性質，雙曲空間中兩條曲線相交的角度與在這個模型中的歐幾里得角度相同。

龐加萊圓盤模型的度量形式是：

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}.\,}$ 

龐加萊圓盤模型，和克萊因模型一樣，都與雙曲面模型射影相關。如果我們有雙曲面模型中雙曲面的上葉中一點 [t, x₁, ..., x_n]，這樣就定義了雙曲面模型中一點，我們可以通過與 [-1, 0, ..., 0] 連接一條直線將其投影到超曲面 t = 0 上，所得是龐加萊圓盤模型中的對應點。

解析幾何中一個基本構造是尋找過兩個定點的一條直線。在龐加萊圓盤模型中，平面上的直線定義為具有如下性質的圓周之一部分

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0,\,}$ 

這是垂直於單位圓周的圓周的一般形式，或就是直徑，可以證明這是連接這兩點（雙曲）距離最短的曲線，即測地線。給定圓盤中不在同一直徑上兩點 u 和 v，我們可以求出過這兩點的圓周，得到

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{}}$ 

${\displaystyle {\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.}$ 

如果點 u 和 v 在圓盤的邊界上但不是直徑的端點，上面的公式簡化成

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.\,}$ 

我們可用一個公式計算出端點（理想點）為單位向量 u 與 v 以及端點為 s 與 t 的兩條圓弧相交的角度。因為理想點在克萊因模型和龐加萊圓盤模型是一樣的，兩個模型中的公式是一樣的。

如果兩條直線都是直徑，那麼 v = −u 和 t = −s，則我們只要找出這兩個單位向量的角度，角度 θ 的公式為

${\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s.\,}$ 

如果 v = -u 但 t≠ -s，用楔積表示，公式變為

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$ 

這裡

${\displaystyle P=u\cdot (s-t),\,}$ 

${\displaystyle Q=u\cdot u,\,}$ 

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t).\,}$ 

如果兩條弦都不是直徑，得到一般的公式

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$ 

這裡

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t),\,}$ 

${\displaystyle Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v),\,}$ 

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t).\,}$ 

利用比內-柯西恆等式（英語：Binet–Cauchy identity）以及這些向量都是單位向量的事實，我們可只使用點積將上面的表達式寫成

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t),\,}$ 

${\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2},\,}$ 

${\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}.\,}$ 

毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪的畫作圓極限IV、圓極限III是龐加萊圓盤的一個藝術形象化。

• 雙曲幾何
• 克萊因模型
• 龐加萊半平面模型
• 龐加萊度量
• 偽球
• 雙曲面模型
• 逆幾何

• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005

• Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255

• Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993