用戶:Ek3ru8m4/沙盒

各座標軸之間角度相等(120°)的視角，就是等角的觀點。以正方體為例，先從一個面看過去，然後以垂直方向為轉軸旋轉視角±45°，接着以水平方向為轉軸旋轉視角約±35.264° (準確來說是 arcsin 1⁄√3)。值得注意的是，平面上正方體(右圖左上)的邊界恰好是一個正六角形：所有黑線的長度相同，而且正方體每一面的面積相同。等角格紙可以在不需要計算的情況下幫忙達到目標。

等角的觀點也可以想成是：從一個正方體空間的頂點，���向對面的頂點。x軸向右下延伸、y軸向左下延伸、z軸向上延伸。沿個軸的線彼此成120°。 　 　

有8種可能的視角符合等角，取決於觀察者的卦限。以第一掛限為例，三維上的點a_x,y,z等角投影到二維上成點 b_x,y，數學上可以寫成旋轉矩陣：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\0&{-\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\1&2&1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}$ 

其中 α = arcsin(1⁄√3) ≈ 35.264° 且 β = 45°。

接着正投影到xy平面:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}$ 

另外7種符合等角的視角，可以藉由旋轉反方向或鏡像來達成。^[1]

等角的概念存在了數個世紀，最早由William Farish(1759–1837)在1822年形式化。^[2][3] 十九世紀中期，等角投影成為工程師重要的工具。不久之後等角投影和軸測投影被加入歐美國家的建築學課程中。^[4] 然而，軸測投影發源於中國。在它對中國藝術的功能，就如同透視投影之於西洋藝術。軸測投影和相關的繪圖法則對電腦圖學 有所幫助。^[5]

如同各種平行投影的方法，等角投影所繪製的物體不會因為遠近而改變大小。雖然建築製圖等時候，需要直接測量長度，但卻會造成視覺上失真。不像透視投影呈現眼睛和照相機的結果。等角投影有時會造成高度難以辨識(如右左下圖)。這被用來創造不可能出現的圖形，如潘洛斯階梯。

等角投影提供有限的3D效果，在1980~90年代，因為當時的微電腦能夠負荷，而被用在早期的電玩中。

這種風格也被用在精靈和像素畫，用來呈現復古遊戲的風格。

• 圖形投影
• 軸測投影

• Isometric Projection