滚动

滚动是一种结合了转动（多半是针对轴对称物体）及相对特定表面平移的运动。若在理想状况下，物体和表面会在没有滑动（英语：sliding (motion)）的情形下互相接触。

没有滑动的滚动称为纯滚动。依照定义，若滚动物体任一时间接触到表面的点，其瞬时速度都和表面相同，这就是纯滚动。若滚动物体的参考平面为静止的，表示接触点的瞬时速度也要是零。

实际上，因为接触面会有微小的变形，仍然会有滑动及能量耗散的情形。不过滚动阻力较一般的滑动摩擦力要小很多。因此轴对称物体滚动需要的能量会比滑动要小很多，若物体有受到一个延著表面的力（例如斜面上的重力、风力、推力、拉力、或是车辆引擎的转矩），要物体滚动会简单很多。非轴对称的物体也会滚动，不过轴对称的物体在在平面上滚动时，其质心是呈直线运动，而非轴对称的物体在平面上滚动时，质心会呈圆周运动。滚动物体不一定要是轴对称物体。像勒洛三角形和Reuleaux四面体（英语：Reuleaux四面體）就是非轴对称，但仍可以滚动的物体。而Oloid和sphericon（英语：sphericon）都属于可展滚子（developable rollers），在平面上滚动时会展开其所有的表面。有棱角的物体（例如骰子）也可以滚动，滚动方式是延著和平面接触的边或是角转动，一直到另一个边或是角接触到平面，再依另一个边或是角转动。

应用

许多载具有轮子，因此可以以转动车轮使其在平面上滚动的方式来行进。车轮和平面之间有滑动的情形称为打滑（英语：Slip (vehicle dynamics)），打滑会造成失控，也可能产生意外，因此需尽可能避免打滑的情形（让物体以类似纯滚动的方式行进）。若路面上有雪、泥沙、油类，而车辆又要高速转弯，或是突然需要加速或是刹车，就有可能会打滑。

滚动件也常用在滚动轴承（英语：rolling-element bearing）中，例如旋转装置中使用的滚珠轴承。滚珠轴承是金属制的，多半在内圈和外圈分别有一个环，这二个环可以以不同的转速旋转。在大部分的机构中，轴承的内环是装在静止不旋转的轴上。因着滚珠轴承的摩擦力小，可以在轴承内环不转的情形下，外环和其他旋转零件可以自由旋转。这也是大部分电动机的基础零件。轴承摩擦力的大小依滚珠轴承的品质以及润滑条件而定。

滚动件常用在运输工具中。最简单的用法是将底部平坦的物体放在许多并排的轮子上。在轮子上的物体可以延著轮子行进的直线运动。在没有其他设备时，可以用这种简单的方式来达到运输的效果。实务上常用有轮子的设备包括有汽车、铁路列车及其他人力运输车辆。

纯滚动的物理学

滚动物体各点的速度等于这些点绕接触点旋转的速度

最简单的滚动就是轴对称的物体在没有滑动的情形下，在平坦表面上滚动，而轴对称物体的轴和表面平行（或者说和平面法线垂直）。

滚动物体上任何一点的轨迹都是次摆线，在轴上任何一点的轨迹会是直线，而在轴对称物体边缘上的任一点的轨迹会是摆线。

滚动物体上任一点的速度是 $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ ，其中 $\mathbf {r}$ 是该点相对接触点（滚动物体和表面的接触点）之间的位移，而 ${\boldsymbol {\omega }}$ 是角速度向量。虽然滚动和绕固定轴旋转是不同的运动，不过各点的瞬时速度类似物体延著通过接触点的轴，且以相同角速度旋转时的瞬时速度。

滚动物体中，位置在旋转轴以下的点，在滚动时的速度会暂时比旋转轴的运动速度要慢，相对旋转轴而言，是暂时往反方面移动。

能量

动能是物体质量以及其速度的函数，上述结果可以配合平行轴定理，得到纯旋转的动能

K_{\text{rolling}}=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}

推导令 $r$ 为接触点和质心之间的距离。当表面平坦时，这也是物体在最宽截面上的半径。因为质心的瞬时速度就如同它接触点为中心的速度一样，其速度为 $v_{\text{c.o.m.}}=r\omega$ 。Due to symmetry, the object center of mass is a point in its axis。令 $I_{\text{rotation}}$ 为绕着对称轴旋转的转动惯量，根据平行轴定理，可得纯滚动下的转动惯量为 $I_{\text{rolling}}=mr^{2}+I_{\text{rotation}}$ （和物体绕着接触点纯旋转的转动惯量相同）。利用旋转动能的公式，可得： ${\begin{aligned}K_{\text{rolling}}&={\frac {1}{2}}I_{\text{rolling}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}m(r\omega )^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv_{\text{c.o.m.}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{rotation}}\omega ^{2}\\&=K_{\text{translation}}+K_{\text{rotation}}\\\end{aligned}}$

力和加速度

将线速度和角速度的关系式 $v_{\text{c.o.m.}}=r\omega$ ，再对时间微分，可以得到加速度和角加速度的关系 $a=r\alpha$ 。应用牛顿第二运动定律：

a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}=r\alpha ={\frac {r\tau }{I}}.

可以得到为了让物体加速及增加角速度，需要有合力以及转矩。若在滚动物体－表面的系统上，有外力，但没有外加转矩，只要物体是纯滚动，在接触点上会有一个接触面和滚动物体之间切线力，提供滚动物体转矩。这个力多半是静摩擦力，就像轮胎和路面之间的摩擦力一样。若静摩擦力不足，物体会从纯滚动变成滑动，摩擦力会变为动摩擦力。此切线力会和外力作用的方向相反，会抵消一部分的外力。因此所得的净力及加速度为：

{\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\\a&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}}}\end{aligned}}

推导

假设物体受到一外力 $F_{\text{external}}$ ，没有外加转矩（力矩为0），在接触点会产生静摩擦力( $F_{\text{friction}}$ )提供转矩，并且抵消一部分的外力。 $F_{\text{friction}}$ 会和物体和平面的接触面相切，方向和 $F_{\text{external}}$ 相反。配合正负号规定（英语：sign convention）让这个力为正值，合力为：

F_{\text{net}}=F_{\text{external}}-F_{\text{friction}}

(1)

因为没有滑动， $r\alpha =a$ 会成立。将 $\alpha$ 和 $a$ 代入牛顿第二运动定律的线性版本以及旋转版本，可以求解 $F_{\text{friction}}$ :

{\begin{aligned}r{\frac {\tau }{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\r{\frac {rF_{\text{friction}}}{I}}&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\F_{\text{friction}}&={\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\\end{aligned}}

将 $(1)$ 中的 $F_{\text{friction}}$ 展开：

{\begin{aligned}F_{\text{net}}&=F_{\text{external}}-{\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\&=F_{\text{external}}-{\frac {I}{mr^{2}}}F_{\text{net}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\\\end{aligned}}

最后一个等式是 $F_{\text{net}}$ 的第一个公式，和牛顿第二运动定律整合，再进行精简，可以得到 $a$ 的方程：

{\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\&={\frac {\left({\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\right)}{m}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m\left(1+{\frac {I}{mr^{2}}}\right)}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{\frac {I}{r^{2}}}}}\\\end{aligned}}

可以将回转半径整合到 $F_{\text{net}}$ 的第一式，可得：

{\begin{aligned}r_{\text{gyr.}}&={\sqrt {\frac {I}{m}}}\\r_{\text{gyr.}}^{2}&={\frac {I}{m}}\\{\frac {I}{mr^{2}}}&={\frac {\left({\frac {I}{m}}\right)}{r^{2}}}\\&={\frac {r_{\text{gyr.}}^{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}\\\end{aligned}}

因此可得 $F_{\text{net}}$ 为

F_{\text{net}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}

${\tfrac {I}{r^{2}}}$ 的因次和质量相同，若一质点在距旋转轴 $r$ 的位置，要有 $I$ 的转动惯量，其需要的质量即为 ${\tfrac {I}{r^{2}}}$ 。因此 ${\tfrac {I}{r^{2}}}$ 可以视为是等效于滚动物体转动惯量的质量。在纯滚动时，外力对物体的影响可以概念化，变成针对质量是 $m+{\tfrac {I}{r^{2}}}$ （实际质量以及转动惯量等效质量）的物体进行加速。因为外力作的功需克服移动惯量以及转动惯量的影响，因此其产生的总力会比外力要小，二者的比例可以用无量纲系数 $1/\left(1+{\tfrac {I}{mr^{2}}}\right)$ 表示，其中 ${\tfrac {I}{mr^{2}}}$ 就是转动惯量等效质量和实际质量的比例，等于 $\left({\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}$ ，而 $r_{\text{gyr.}}$ 为物体在纯转动时（不是滚动时）的回转半径。其中的平方项是因为质点质量的转动惯量和相对旋转轴距离的平方成正比。

在没有空气阻力的情形下，四个不同的物体延著斜面滚下：从后往前分别是：空心圆球（红色）、实心圆球（橘色）、空心圆柱（绿色）及实心圆柱（蓝色）。各物体到终点的时间是其质量分布、斜面角度以及重力加速度的函数。也有动画版或动画版的GIF

若物体是延著斜面往下滚，受力只有重量、斜面的正向力以及静摩擦力，（没有空气阻力），其净力及加速度为：

{\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {mg\sin \left(\theta \right)}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {mg\sin \left(\theta \right)}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\\a&={\frac {g\sin \left(\theta \right)}{1+\left({\frac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}\end{aligned}}

a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}={\frac {g\sin \left(\theta \right)}{1+\left({\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}\right)^{2}}}

${\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}$ 和物体的形状以及其相对旋转轴质量分布有关，和其大小和密度无关。因此针对一参考用的滚动物体，另一较大物体或是其他密度的物体，只要 ${\tfrac {r_{\text{gyr.}}}{r}}$ 相同，从同一斜面滚下，其加速度会相同。此情形类似在不考虑空气阻力的情形下，不同物体从同一斜面滚下，其加速度会相同的情形一样。

滚动速度

不考虑摩擦力时的滚动速度

考虑有一个球在角度为θ的斜面上滚下，令初速度为u，终速度为v，加速度为a，则

v=u+at

而u = 0， $a=g\sin \theta$ ，因此

v=gt\sin \theta \,

考虑摩擦力时的滚动速度

考虑一物体在斜面上滚下，其条件如下

物体质量 = m，加速度 = a，初速度 = u，末速度 = v，到斜面下方的时间 = t，物体的重量为 = F_R = mg，摩擦力 = F_f = µF_N cos θ，合力 = F。

{\begin{aligned}F&=ma\\&={\frac {m(v-u)}{t}}\\&={\frac {m(v-0)}{t}}\\&={\frac {mv}{t}}\\\Rightarrow v&={\frac {Ft}{m}}={\frac {\left(F_{R}-F_{f}\right)t}{m}}\\&={\frac {(mg-\mu F_{N}\cos \theta )t}{m}}\\&={\frac {(mg-\mu mg\cos \theta )t}{m}}\\&={\frac {mg(1-\mu \cos \theta )t}{m}}\\&=gt(1-\mu \cos \theta )\end{aligned}}

不过 $v=gt\sin \theta$ ，因此

v=gt(\sin \theta -\mu \cos \theta )

参考资料

Halliday, David; Resnick, Robert, Fundamentals of Physics, Chapters 10, 11: Wiley, 2013

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