מאטעמאטיק

דאס ווארט „מאטעמאטיק" (גריכיש: μαθηματικά) שטאמט פון גריכיש [μάθημα [máthēma וואס מיינט לערנען, שטודירן, און אויך די מער באגרעניצט און טעכנישערע באדײַטונג „שטודירן מאטעמאטיק".

אין זיין איבערזעצונג פונעם רמב״מ׳ס מורה נבוכים, אנהייב פונעם 13טן יארהונדערט, ניצט הרב שמואל איבן תיבון דאס ווארט ״לימודיים״ פאר מאטעמאטיק, וואס איז א גלייכע אפטייטש פון גריכיש.

די בבליים און די מצריים האבן געניצט אריטמעטיק, אלגעברע און געאמעטריע פאר באשטייערונג און אנדערע פינאנציעלע חשבונות, פאר בויען און קאנסטרוקציע, און פאר אסטראנאמיע.‏^[1] די ערשטע באניצן פון מאטעמאטיק זענען געווען אין האנדל, ערד־מעסטן, מאלעריי און וועבן מוסטערן און אין רעכענען צייט. די בבליים און מצריים האבן געהאט א ידיעה וועגן קוואדראטישע גלייכונגען, קוואדראט ווארצלען און שטח פון פלאכע פיגורן.

נייע מאטעמאטישע אויסגעפינען זענען געווארן אנטדעקט דורכאויס דער היסטאריע, און ווערן נאכאלץ אנטדעקט ביזן היינטיקן טאג. די אנטוויקלונג פון מאטעמאטיק אין אוראלטע צייטן האט דערגרייכט איר שפיץ און אוראלט גריכנלאנד, א דאנק די בארימטע מאטעמאטיקער ווי אוקלידוס און ארכימעד. אין דעם מיטל אלטער איז די עיקר אנטוויקלונג געווען ביי די אראבער, וואס האבן אנטוויקלט אלגעברע און טריגאנאמעטריע. אינעם 17טן יארהונדערט האבן געבליט פארשידענע צווייגן פון מאטעמאטיק, למשל אנאליטישע געאמעטריע און קאלקולוס, וואס זענען געווארן די שפרינגברעט פאר פיל וויסנשאפטלעכע צווייגן. די אנטוויקלונג פון נישט-אוקלידישער געאמעטריע אינעם 19טן יארהונדערט האבן אונטערגעשריכן די וויכטיקייט פון אקסיאמען אין מאטעמאטיק, אין די פארווייטערונג פון אן אינטואיטיוון צוגאנג. בים סוף פונעם 19טן יארהונדערט איז אנטוויקלט געווארן געזעמלען טעאריע, און אויך האט אנטוויקלט א דעבאטע וועגן די פונדאמענטן פון מאטעמאטיק. אינעם 20סטן יארהונדערט האט מאטעמאטיק זיך אנטוויקלט גיך, מיט דער לייזונג פון מערערע פון הילבערטס 23 פראבלעמען.

די מאטעמאטישע סימבאלן וואס ווערן געניצט היינט זענען מערסטנס נאר פונעם 16טן יארהונדערט און שפעטער. פריער פלעג מען שרייבן מאטעמאטיק נאר מיט ווערטער אן סימבאלן. אינעם 18טן יארהונטדערט האט לעאנהארד אוילער דערפינדעט א סך פון די סימבאלן וואס מען ניצט היינט. מיט סימבאלן קען מען בעסער און גיכער אנטוויקלען מאטעמאטיק, כאטש נייע באניצער דארפן אויסלערנען וויאזוי מען ניצט די סימבאלן. מאטעמאטישער סימבאליזם איז זייער אנגעפאקט: מיט די סימבאלן איז מעגלעך גאנץ אין קורצן אויסצושפרעכן א סך אינפארמאציע.

אפילו די שפראך פון מאטעמאטיק קען זיין שווער פאר אנהייבער צו פארשטיין. אזא פשוט ווארט ווי ״אדער״ האט א ספעציפישן באדייט אין מאטעמאטיק. אויסער דעם ניצן מאטעמאטיקער ווערטער ווי ״אפֿן״ און ״פֿעלד״ מיט א באזונדערער מאטעמאטישער באדייטונג. אין מאטעמאטיק דארף אלץ זיין פינקטלעך, וואס מאטעמאטיקער רופן שטרענגקייט.

כדי צו פארמיידן אויסרעדן טעראמען וואס זענען נישט גוט אויסגעהאלטן פירן זיך מאטעמאטיקער אוועקלייגן א פונדאציע פון אקסיאמען פון וואס מען קען ארויספירן נייע אייגנשאפטן.

מאטעמאטיק ווערט געניצט צו לייזן פראבלעמען וועגן נומער (קוואנטיטעט), סטרוקטור, פארעם אדער ענדערונג. אריגינעל האבן די פראבלעמען געשטאמט פון האנדל, פון מעסטן ערטער און פון אסטראנאמיע; היינט אבער שטאמען מאטעמאטישע פראבלעמען פון אלע וויסנשאפטן און אויך פון מאטעמאטיק אליין. דער פיזיקער יוזשין וויגנער האט באמערקט אז גאנץ אפט האט א געדאנק פון ריינעם מאטעמאטיק א פראקטישע אפליקאציע, למשל, נומערן טעאריע אין קריפטאגראפיע.

די שטודיע פון כמות (קוואַנטיטעט) הייבט אן מיט נומערן, ערשט די באקאנטע נאטירלעכע צאל און גאנצע צאל, מיט די אריטמעטישע אפעראציעס אויף זיי, וואס צוזאמען ווערן שטודירט אין אריטמעטיק. די טיפֿערע אייגנשאפֿטן פון נומערן שטודירט מען אין נומערן טעאריע, פון וואנעט קומען אזעלכע רעזולטאטן ווי פערמא׳ס לעצטער טעארעם. צווישן די נישט געלייזטע פראבלעמען פון נומערן טעאריע זענען די פרימצאל-צווילינג השערה און די גאלדבאך-השערה.

מיט דער אנטוויקלונג פון דער נומערן־סיסטעם, אנערקענט מען די נאטירלעכע צאל ווי אן אונטער־געזעמל פון די ראציאנאלע צאל (בראכטיילן), וואס זיי זענען א טייל פון די רעאלע צאל, מיט וואס מען קען דעפינירן נאכאנאנדיקע פֿונקציעס. רעאלע צאל קען מען פארברייטערן ווייטער צו קאמפלעקסע צאל.

${\displaystyle 1,2,3\,\!}$	${\displaystyle -2,-1,0,1,2\,\!}$	${\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!}$	${\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!}$	${\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!}$
נאטירלעכע צאל	גאנצע צאל	ראציאנאלע צאל	רעאלע צאל	קאמפלעקסע צאל

א סך מאטעמאטישע אביעקטן, ווי סכומען פון נומערן און פונקציעס, ווײַזן אינווייניקע סטרוקטור.

ביישפילן פון געביטן אין מאטעמאטיק וואס באהאנדלען סטרוקטור זענען:

• קאמבינאטאריק
• נומערן טעאריע
• לינעארע אלגעברע
• אבסטראקטע אלגעברע
• סדר-טעאריע
• גראפן-טעאריע

${\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}$
קאמבינאטאריק	נומערן טעאריע	אבסטראקטע אלגעברע	לינעארע אלגעברע	סדר-טעאריע	גראפן-טעאריע

די שטודיע פון פֿארעם און רוים הייבט אן מיט געאמעטריע, ספעציעל אויקלידישע געאמעטריע. די מאדערנע שטודיע פון געאמעטריע גענעראליזירט צו געאמעטריע אין מערערע דימענסיעס, נישט-אויקלידישע געאמעטריע (וואס שפילט א צענטראל ראלע אין אלגעמיינער רעלאטיוויטעט) און טאפאלאגיע. אנדערע געביטן פון מאטעמאטיק וואס באהאנדלען פארעם זענען אנאליטישע געאמעטריע, דיפערענציאלע געאמעטריע און אלגעברעאישע געאמעטריע. אין דיפערענציאלער געאמעטריע געפינען זיך די באגריפן פון פיבערבינטלעך און קאלקולוס אויף פלאכטעס, ספעציעל וועקטאר און טענסאר קאלקולוס.

די שטודיע פון אויקלידישע געאמעטריע שליסט איין דעם בארימטן פיטאגאראס פרינציפ און טריגאנאמעטריע, וואס באהאנדלט די פֿארהעלטענישן צווישן די זייטן און ווינקלען פון דרייעקן און מיט די טריגאנאמעטרישע פונקציעס.

אין געאמעטרישער אלגעברע ווערן געאמעטרישע אביעקטן באשריבן ווי געזעמלען פון לייזונגען פון פאלינאמישע גלייכונגען, און אזוי ווערן איינגעפלאכטן די באגריפן פון כמות און פארעם; אויך פארשט מען טאפאלאגישע גרופעס וואס פלעכטן איין סטרוקטור און פארעם. לי גרופעס דינען צו פארשן פארעם, סטרוקטור און ענדערונג. טאפאלאגיע, מיט אירע אונטערצווייגן, איז געווען דער געביט מיט דער גרעסטער אנטוויקלונג אינעם 20סטן יארהונדערט, און שליסט איין די פואנקארע השערה און דעם פיר-פארבן טעארעם, וואס איז געווארן אויפגעוויזן מיטן הילף פון א קאמפיוטער און קיין שום מענטש האט נאך נישט באשטעטיקט זיין ריכטיקייט.

געאמעטריע	טריגאנאמעטריע	דיפערענציאלע געאמעטריע	טאפאלאגיע	פראקטאלישע געאמעטריע	מאס טעאריע

שילדערן און פארשטיין ענדערונג איז שטארק נויטבאר אין דער נאטור-וויסנשאפטן, און דער קאלקולוס איז א קראפטיגער געצייג דערפאר. דער הויפט באגריף איז די פונקציע. די שטודיע פון רעאלע צאלן און פונקציעס וואס האבן רעאלע ווערטן הייסט רעאלער אנאליז, און די פאראלעלע שטודיע פון פונקציעס פון קאמפלעקסע צאלן הייסט קאמפלעקסער אנאליז. די רימאן השערה, איינע פון די אפענע יסודותדיקע פראגעס אין מאטעמאטיק, קוואלט ארויס פון קאמפלעקסן אנאליז. פונקציאנאלער אנאליז פאקוסירט אויף פונקציע רוימען, בדרך כלל מיט אומענדלעכע דימענסיעס. פונקציאנאלער אנאליז ווערט געניצט אין קוואנטן-מעכאניק. עס זענען פאראן פילע פראבלעמען וואס זייער לייזונג ליגט אין א פארהעלטעניש צווישן א קוואנטיטעט און זיין ענדערונג, וואס מען שטודירט אין דעם געביט פון דיפערענציאל-גלייכונגען.

א סך פענאמענען אין נאטור קען מען שילדערן דורך דינאמישע סיסטעמען; כאאס-טעאריע פארשט גענוי ווי די סיסטעמען ארבעטן. נומערישער אנאליז פארשט מעטאדן צו לייזן א ברייטן גרייך פון פראבלעמען וואס מען קען נישט לייזן אנאליטיש.

כדי צו געבן צו פארשטיין די פונדאמענטן פון מאטעמאטיק האט מען אנטוויקלט די געביטן פון מאטעמאטישער לאגיק און געזעמלען טעאריע, ווי אויך קאטעגאריע טעאריע וואס ווערט נאכאלץ אנטוויקלט. די פֿראזע "קריזיס פון פונדאמענטן" וואס באשרייבט די זוך אין אנהייב פונעם 20סטן יארהונדערט נאך פאסיקע פונדאמענטן פאר מאטעמאטיק, איז א פארציענדיקער פענאמען, קאנקרעטיזירט דורך געציילטע אפטיילונגען ווי די קאנטראווערסיע וועגן קאנטאר׳ס געזעמלען טעאריע, די בראוער-הילבערט קאנטראווערסיע און די בישאפ-קייזלער קאנטראווערסיע.

מאטעמאטישע לאגיק באהאנדלט באזירן מאטעמאטיק אויף א פעסטער אקסיאמאטישער ראם, און פארשט די רעזולטאטן פון דער ראם. דורך דעם קען מען דערגיין געדעל׳ס צווייטן אומפולשטענדיקייט טעארעם, אפשר דער מערסט בארימטער רעזולטאט פון לאגיק, וואס ווייזט אן אין א נישט פארמאלן אופן אז יעדער מאטעמאטישער פארמאליזם וואס אנטהאלט גרונטלעכן אריטמעטיק, טאמער ער איז גענוג שטארק (דאס הייסט, אלע טעארעמן וואס מען קען באווייזן זענען געהעריג) מוז די סיסטעם זיין אומפולשטענדיק (דאס הייסט, אז עס זענען פארהאן געהעריגע טעארעמען וואס מען קען נישט באווייזן אין דער סיסטעם). מאדערנע לאגיק ווערט צעטיילט אויף רעקורסיע טעאריע, מאדעלן טעאריע און באווייזן טעאריע, און האט פעסטע פארהעלטענישן מיט טעארעטישער קאמפיוטער וויסנשאפט.

${\displaystyle p\Rightarrow q\,}$
מאטעמאטישע לאגיק	געזעמלען טעאריע	קאטעגאריע טעאריע

דיסקרעטע מאטעמאטיק איז א ברייטער געביט פון מאטעמאטיק וואס באשעפטיקט זיך מיט פארשן די נאטור פון דיסקרעטע מאטעמאטיקע סטרוקטורן (אנדערש ווי מאטעמאטישער אנאליז, וואס באהאנדלט המשכדיקע מאטעמאטישע סטרוקטורן). די אביעקטן וואס מען שטודירט אין דיסטקרעטער מאטעמאטיק זענען מערסטנס צייליקע געזעמלען.

דיסקרעטע מאטעמאטיק איז געווארן זייער פאפולער זייט דעם צווייטן העלפט פונעם 20סטן יארהונדערט, א דאנק איר ניץ אין קאמפיוטער-וויסנשאַפֿט: א דיגיטאלישע קאמפיוטער (אנדערש ווי אן אנאלאג קאמפיוטער) ארבעט דיסקרעטיש, א טריט נאך א טריט, דערפאר איז דיסקרעטע מאטעמאטיק שטארק רעלעוואנט צו די טעארעטישע פונדאמענטן פון זיין ארבעט.

די הויפט צווייגן וואס ווערן איינגעשלאסן אין דער ברייטערער ראם פון דיסקרעטער מאטעמאטיק זענען: קאמבינאטאריק, גראפן-טעאריע, אלגאריטמיק און ובולעשע אלגעברע.

• פיטאגאראס פרינציפ

נומערן סיסטעם

• ביינערי
• דעצימאַל
• העקס
• בעיס 64

באוווסטע מאַטעמאַטיקער

• רענע דעקארט
• פיטאַגאָראַס