Перейти до вмісту

Двоїстий однорідний многогранник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Двоїстий однорідний многогранник — многогранник, двоїстий до однорідного многогранника. Якщо однорідний многогранник є вершинно-транзитивним, двоїстий однорідний многогранник є гране-транзитивним.

Перелік

[ред. | ред. код]

Гране-транзитивні многогранники включають 9 правильних многогранників, двох скінченних множин, що містять 66 неправильних многогранників, і двох нескінченних множин:

Повний набір, а також інструкції щодо побудови моделей описав Веннінґер у книзі Двоїсті моделі (англ. Dual Models).

Побудова Дормана Люка

[ред. | ред. код]

Для однорідного многогранника кожну грань двоїстого многогранника можна отримати з відповідної вершинної фігури початкового многогранника за допомогою побудови Дормана Люка[1].

Як приклад, на малюнку нижче показано, як вершинну фігуру (червона) кубооктаедра використовують для отримання відповідної грані (синя) ромбододекаедра.

Побудова Дормана Люка виконується так:

  1. Позначте точки A, B, C, D кожного ребра, сполученого з вершиною V (у цьому випадку — середини), такі що VA = VB = VC = VD.
  2. Накресліть вершину фігуру ABCD.
  3. Накресліть коло, описане навколо ABCD.
  4. Проведіть дотичну до описаного кола в кожному куті A, B, C, D.
  5. Позначте точки E, F, G, H, де перетинаються по дві сусідні дотичні лінії.

Відрізки EF, FG, GH, HE вже намальовано, як частини дотичних. Многокутник EFGH є гранню двоїстого многогранника, що відповідає початковій вершині V.

У цьому прикладі розмір вершинної фігури вибрано так, щоб її описане коло лежало на напіввписаній сфері кубооктаедра, яка також стає напіввписаною сферою двоїстого ромбододекаедра. Побудову Дормана Люка можна використовувати лише тоді, коли многогранник має таку напіввписану сферу, тобто, вершинна фігура має описане коло. Наприклад, його можна застосувати до однорідних многогранників.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (вид. 2nd), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
  • Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), Duality of polyhedra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617���642, doi:10.1080/00207390500064049.
  • Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
  • Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8.