Напівкільце

Напівкільце — множина ${\displaystyle S}$  з бінарними операціями ${\displaystyle +}$  і ${\displaystyle \cdot }$ , в якій для будь-яких елементів ${\displaystyle a,b,c}$  виконуються аксіоми: ^[1][2]

1. ${\displaystyle \langle S,+\rangle }$  — комутативний моноїд. Тобто справедливі рівності:
   • Комутативність: ${\displaystyle a+b=b+a}$ 
   • Асоціативність: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ 
   • Існування нейтрального елемента (нуля): ${\displaystyle a+0=0+a=a}$ 
2. ${\displaystyle \langle S,\cdot \rangle }$  — напівгрупа. Тобто має місце властивість:
   • асоціативність: ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ 
3. Дистрибутивність множення щодо додавання:
   • Ліва дистрибутивність: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ 
   • Права дистрибутивність: ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ 
4. Мультиплікативна властивість нуля:
   • ${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$ 

Остання аксіома опускається в визначенні кільця, так як там вона випливає з інших аксіом, тут же її доводиться додавати. Відмінність напівкільця від кільця полягає тільки в тому, що по додаванню напівкільце утворює тільки комутативний моноїд, а не комутативну групу.

Напівкільце називається комутативним, якщо операція множення в ньому є комутативною: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\;\forall a,b\in S}$ .

Напівкільце називається напівкільцем з одиницею, якщо в ньому існує нейтральний елемент щодо операції множення (що називається одиницею): ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a\;\forall a\in S}$ .

Напівкільце називається мультиплікативно (або адитивно) скоротним, якщо ${\displaystyle \;\forall a,b,c\in S}$  з рівності ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c}$  (або, відповідно, ${\displaystyle a+c=b+c}$ ) випливає, що ${\displaystyle a=b}$ .

Напівкільце називається ідемпотентним, якщо для будь-якого ${\displaystyle a\in S}$  виконується рівність ${\displaystyle a+a=a.}$ 

• Напівкільце ${\displaystyle \langle \mathbb {N} _{0},+,\cdot \rangle }$  натуральних чисел з нулем.
• Тривіальне напівкільце: ${\displaystyle \langle \lbrace 0\rbrace ,+,\cdot \rangle }$ 
• Двоелементне напівкільце: ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} _{2},+,\cdot \rangle }$ , ${\displaystyle \langle \mathbb {B} ,\oplus ,\vee \rangle }$ , де ${\displaystyle \vee }$  позначає диз'юнкцію, а ${\displaystyle \oplus }$  — виключну дизюнкцію на множині ${\displaystyle \mathbb {B} =\lbrace 0,1\rbrace }$ 
• Квадратні n × n матриці з елементами з напівкільця натуральних чисел з нулем ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$  і операціями матричного додавання і множення. Також напівкільце утворюють квадратні матриці з елементами з будь-якого напівкільця.
• Якщо A — комутативний моноїд, то множина End(A) ендоморфізмів A утворює напівкільце, де додавання визначено поточково, а множення — композиція функцій.
• N [x], многочлени з натуральними коефіцієнтами утворюють комутативне напівкільце. Воно є вільним комутативним напівкільцем з єдиним генератором {x}.
• Невід'ємні дійсні числа зі звичайними операціями додавання і множення. ^[2]
• (Max, +) і (min, +) — напівкільця дійсних чисел, в яких сумою двох чисел визначено їх максимум (відповідно мінімум), а множення — звичайне додавання дійсних чисел.

Напівкільце множин ^[3] — система множин S, для якої виконані наступні умови:

• ${\displaystyle \varnothing \in S}$ ;
• ${\displaystyle \forall A,B\in S\quad A\cap B\in S}$ ;
• ${\displaystyle \forall A\in S,A_{1}\in S\quad A_{1}\subset A\rightarrow \exists A_{2},\dots ,A_{n}\subset A:A_{1}\sqcup \dots \sqcup A_{n}=A}$ .

Таким чином, напівкільце множин містить в собі порожню множиню, є замкнутим щодо перетину і будь-яка множина з напівкільця множин може бути записана у вигляді скінченного об'єднання множин, що належать цьому напівкільцю множин і попарно не перетинаються. Такі напівкільця часто використовуються в теорії міри.

Напівкільцем множин з одиницею називають напівкільце множин з таким елементом E, що його перетин з будь-яким елементом A напівкільця множин рівний A. Будь-яке кільце множин є напівкільцем множин. Прямий добуток напівкілець множин також є напівкільцем множин.

• Кільце (алгебра)

• François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version) [Архівовано 4 листопада 2016 у Wayback Machine.], Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
• Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8 MR1746739
• Berstel, Jean; Perrin, Dominique (1985). Theory of codes. Pure and applied mathematics. Т. 117. Academic Press. ISBN 978-0-12-093420-1. Zbl 0587.68066.
• Lothaire, M. (2005). Applied combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Т. 105. A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, Gesine Reinert, Sophie Schbath, Michael Waterman, Philippe Jacquet, Wojciech Szpankowski, Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche and Valérie Berthé. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-84802-4. Zbl 1133.68067.