Kesişme teoremi

Bir çarpımın inşası

Bir evrik değerin inşası

Rastgele bir doğru parçasını ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ bir ${\displaystyle m:n}$ oranında bölmek için, A'da ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ile tek ayak olacak şekilde rastgele bir açı çizin. Diğer bacakta ${\displaystyle m+n}$ eşit uzaklıkta noktalar oluşturun, ardından çizgiyi son noktadan ve B ve ${\displaystyle m}$ noktasından paralel bir çizgi çizin. Bu paralel çizgi ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 'yi istenen oranda böler. Sağdaki grafik bir ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ çizgi parçasının ${\displaystyle 5:3}$ oranında bölümünü göstermektedir.^[4]

Kesişme teoremi, bir nehrin veya gölün genişliği, yüksek binaların boyunu veya benzeri gibi doğrudan ölçülemeyen bir mesafeyi belirlemek için kullanılabilir. Sağdaki grafik bir nehrin genişliğini ölçmeyi göstermektedir. ${\displaystyle |CF|}$,${\displaystyle |CA|}$,${\displaystyle |FE|}$ bölümleri ölçülür ve istenen mesafeyi hesaplamak için kullanılır: ${\displaystyle |AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}}$.

İki üçgen kenarın orta noktaları birleştirilirse, ortaya çıkan doğru parçası üçüncü üçgen tarafına paraleldir (üçgenlerin orta nokta teoremi).

Bir yamuğun paralel olmayan iki kenarının orta noktaları birleştirilirse, ortaya çıkan çizgi parçası yamuğun diğer iki tarafına paraleldir.

${\displaystyle CA\parallel BD}$ olduğundan, ${\displaystyle \triangle CDA}$ ve ${\displaystyle \triangle CBA}$ yüksekliklerinin uzunluğu eşittir. Bu üçgenler aynı temel çizgiyi paylaştıkları için alanları aynıdır. Yani ${\displaystyle |\triangle CDA|=|\triangle CBA|}$ ve dolayısıyla ${\displaystyle |\triangle SCB|=|\triangle SDA|}$'dir. Buradan yola çıkarak;

${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}}$

bulunur. Üçgen alan formülüne girilirse (${\displaystyle {\tfrac {{\text{taban}}\cdot {\text{yükseklik}}}{2}}}$), aşağıdaki ifadelere dönüşür:

${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}}$

Ortak çarpanların sadeleştirilmesiyle;

(a) ${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}}$ ve (b) ${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}}$

Şimdi ${\displaystyle |SA|}$ ve ${\displaystyle |SC|}$ (a)'da yerine yazılırsa:

${\displaystyle {\frac {\frac {|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}}={\frac {\frac {|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}}}$

(b)'yi tekrar kullanmak, aşağıdakileri sadeleştirir:

(c) ${\displaystyle \,{\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}}$ ${\displaystyle \square }$

A'dan ${\displaystyle SD}$ 'ye ilave bir paralel çizin. Bu paralel G'de ${\displaystyle BD}$ ile kesişiyor. O halde ${\displaystyle |AC|=|DG|}$ ve iddia 1'den dolayı ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}}$ ve bu nedenle, ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$ ${\displaystyle \,\square }$

${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$'nin paralel olmadığını varsayın. Daha sonra ${\displaystyle AC}$ ile ${\displaystyle D}$ arasındaki paralel çizgi ${\displaystyle B_{0}\neq B}$ içinde ${\displaystyle SA}$ ile kesişir.

${\displaystyle |SB|:|SA|=|SD|:|SC|}$ doğru olduğundan,

${\displaystyle |SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$

ve diğer yandan iddia 2'den

${\displaystyle |SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$.

Yani ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle B_{0}}$, ${\displaystyle S}$'nin aynı tarafındalar ve ${\displaystyle S}$ ile aynı mesafeye sahipler, ${\displaystyle B=B_{0}}$ anlamına gelir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla varsayım doğru olamazdı, yani ${\displaystyle AC}$ ve ${\displaystyle BD}$ gerçekten paraleldir ${\displaystyle \square }$