สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น (อังกฤษ: the axioms of probability) ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1936 โดยคอลโมโกรอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย¹ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นถูกนิยามด้วยฟังก์ชัน แต่ไม่ได้หมายความว่าทุกๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด สัจพจน์ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้ กล่าวโดยสรุป ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดยบรูโน เด ฟิเนตติ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและริชาร์ด คอกซ์ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ ในทางปฏิบัติโดยทั่วไปแล้ว² สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้งๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)

กำหนดให้ ${\displaystyle P(x)}$ เป็นฟังก์ชันใดๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยมีโดเมนคือ ${\displaystyle \Omega }$ เราจะกล่าวว่า ${\displaystyle P(x)}$ เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle P(x)}$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. ${\displaystyle P(A)\geq 0}$ สำหรับ ${\displaystyle A}$ ที่เป็นสับเซตของ ${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle P(\Omega )=1}$
3. ${\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)}$ สำหรับ ${\displaystyle A}$ และ ${\displaystyle B}$ ที่เป็นสับเซตของ ${\displaystyle \Omega }$ และ ${\displaystyle A,B}$ ไม่มีสมาชิกร่วมที่เหมือนกันเลย

อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน ${\displaystyle \Omega }$ ว่า เหตุการณ์พื้นฐาน และ สับเซตเช่น ${\displaystyle A,B}$ ของ ${\displaystyle \Omega }$ ว่า เหตุการณ์ (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ ${\displaystyle \Omega }$ จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)

นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ของเหตุการณ์(event) ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {E} )}$ ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น ${\displaystyle ({\boldsymbol {\Omega }},{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )}$ นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด ${\displaystyle \mathbb {P} }$ เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ของทุกสับเซต ของ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ โดยที่ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}$

หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้

ถ้า ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม

1. ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$
2. สำหรับทุกๆ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ใน ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ค่าความน่าจะเป็น ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {A} )}$จะนิยามเป็นฟังก์ชันจำนวนจริง และมีค่าไม่เป็นจำนวนลบ บน ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$
3. ${\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}$
4. ถ้า ${\displaystyle \mathbf {A} }$ และ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวเนื่องกัน (disjoint events) แล้ว ${\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )=\mathbb {P} (\mathbf {A} )+\mathbb {P} (\mathbf {B} )}$
5. (สมมติฐานความต่อเนื่อง หรือ ความสมบูรณ์ของการบวก (σ-field)) ถ้า ${\displaystyle \mathbf {A_{1},A_{2},} \ldots \mathbf {,A_{n},} \ldots }$ เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {A_{1}} \supset \mathbf {A_{2}} \supset \ldots \supset \mathbf {A_{n}} \supset \ldots }$ แล้ว
   • ${\displaystyle \bigcap _{n}\mathbf {A_{n}} =\varnothing }$
   • ซึ่งก็คือ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (\mathbf {A_{n}} )=0}$

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ${\displaystyle P(\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbf {A_{n}} )=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})}$

ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามีเหตุการณ์ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ใดๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า ${\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (\mathbf {A} )\leq 1}$ และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ${\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}$

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ ปริภูมิของเหตุการณ์ (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่นๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\{1,2,3,4,5,6\}}$

• เหตุการณ์ของการโยนออกแต้มเลขคี่ คือ ${\displaystyle \{1,3,5\}=\{1\}\cup \{3\}\cup \{5\}}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 คือ ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{1\}\cup \{2\}\cup \{3\}}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มไม่น้อยกว่า 4 คือ ${\displaystyle \{1,2,3\}^{c}=\{4,5,6\}}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 และ เป็นเลขคี่ คือ ${\displaystyle \{1,3,5\}\cap \{1,2,3\}=\{1,3\}}$
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 หรือ เป็นเลขคี่ คือ ${\displaystyle \{1,3,5\}\cup \{1,2,3\}=\{1,2,3,5\}}$

เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

ตัวอย่าง พิจารณา ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\{1,2,3,4\}}$ หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ${\displaystyle \mathbf {A} =\{1,2,3\}}$ และ ${\displaystyle \mathbf {B} =\{3,4\}}$ ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ

${\displaystyle \emptyset \quad \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\{3\}\quad \mathbf {A} ^{c}\cap \mathbf {B} =\{4\}\quad \mathbf {B} ^{c}=\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ^{c}=\{1,2\}\quad \mathbf {B} =\{3,4\}\quad \mathbf {A} =\{1,2,3\}\quad {\boldsymbol {\Omega }}}$

สังเกตว่า เหตุการณ์ ${\displaystyle \{1\}}$ และ ${\displaystyle \{2\}}$ นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด

¹ แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ ปิแยร์ แฟร์มาต์ แบลส์ ปาลกาล จนถึง ปิแยร์ ซิมง ลาปลัสก็ตาม นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่างเคร่งครัด คล้ายกับกรณีออกัสติน หลุยส์ โคชี่ได้นิยามแคลคูลัสของไอแซก นิวตัน กับ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซอย่างเคร่งครัดในคริสต์ศตวรรษที่ 19 นั่นเอง

² อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน ในทางปฏิบัติ ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็นเซตจำกัด ทำให้ประเด็นเรื่อง การบวกได้เชิงเซตจำกัด (finite additivity) และ การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้ (countably additivity) ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของเอดวิน ทอมป์สัน เจนส์ (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน ความแตกต่าง แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดในภาคผนวก รวมทั้งยังนำเสนอวิธีการสังเคราะห์สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย