ผลพวงเชิงตรรกะ

ผลพวงเชิงตรรกะ (อังกฤษ: Logical consequence หรือ entailment) เป็นแนวคิด (concept) พื้นฐานในวิชาตรรกศาสตร์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่างข้อความเมื่อข้อความหนึ่งเป็นผลมาจากข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่สมเหตุสมผลเป็นการอ้างเหตุผลซึ่งข้อสรุป (consequent) เป็นผลมาจากข้อตั้งเพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง การวิเคราะห์ (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร?^[1] ทั้งหมดทั้งมวลของตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและความจริงเชิงตรรกะ (logical truth)^[2]

ผลพวงเชิงตรรกะจำเป็นและเป็นรูปนัย (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดยการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และตัวแบบการตีความ (interpretation (logic))^[1] ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคในภาษา (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่งก็ต่อเมื่อประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความส่วนตัว)^[3]

นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วยภาษา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้างระบบนิรนัย (deductive system) สำหรับ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ หรือด้วยการตีความที่ตั้งใจ (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ อัลเฟรด ทาร์สกี (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับรูปตรรกะ (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบก่อนประสบการณ์ (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้หลักฐานเชิงประสบการณ์ (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบอัญรูป (modal logic)^[3]

มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือรูปตรรกะของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น

คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับเค้าร่างซึ่งใช้กฎการอนุมาน (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า

ทุก X เป็น Y

ทุก Y เป็น Z

เพราะฉะนั้น ทุก X เป็น Z.

การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจากกรณี (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล

ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่าผลพวงเชิงเนื้อหา (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริงในทุกกรณี แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า "P เป็นลูกของพี่ชายของ Q เพราะฉะนั้น P เป็นหลานของ Q" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผลรูปนัย^[1]

เมื่อเรารู้ว่า ${\displaystyle Q}$ เป็นผลโดยตรรกะมาจาก ${\displaystyle P}$ แล้วความหมายของ ${\displaystyle P}$ หรือ ${\displaystyle Q}$ ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มีความรู้เชิงประจักษ์ (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า ${\displaystyle Q}$ เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ ${\displaystyle P}$^[1] เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori)^[1] อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ^[1]

เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของการพิสูจน์ (proof) และผ่านตัวแบบ (model) ทฤษฎีการพิสูจน์ (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือทฤษฎีตัวแบบ (model theory)^[4]

สูตรหรือ formula ${\displaystyle A}$ เป็นผลพวงทางไวยากรณ์ (อังกฤษ: syntactic consequence)^[5][6][7][8] ของเซตของสูตร ${\displaystyle \Gamma }$ ในระบบรูปนัย ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมีการสืบสมุฏฐาน (formal proof) ${\displaystyle A}$ จากเซตของ ${\displaystyle \Gamma }$ ใน ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$

${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$

ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับการตีความระบบรูปนัยในแบบใด ๆ^[9]

สูตรหรือ formula ${\displaystyle A}$ เป็นผลพวงทางความหมาย (อังกฤษ: semantic consequence) ของเซตของข้อความ ${\displaystyle \Gamma }$ ในระบบรูปนัย ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ระบบหนึ่ง

${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A,}$

ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ เป็นจริงแต่ ${\displaystyle A}$ จะเป็นเท็จ^[10] หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน ${\displaystyle \Gamma }$ ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้ ${\displaystyle A}$ เป็นจริง

คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทางอัญรูป (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันจำเป็น ที่หากสมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$ เป็นจริง

ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันเป็นไปไม่ได้ ที่สมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$ เป็นเท็จ

คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัยความจำเป็นเชิงตรรกะ (logical truth) และความเป็นไปได้เชิงตรรกะ (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณทั้งหมดบนโลกที่เป็นไปได้ (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$ ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$ เป็นเท็จ (ไม่จริง)

พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:

กบทุกตัวสีเขียว

เคอร์มิตเป็นกบ

เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว

ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$ ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ ${\displaystyle \Gamma }$/${\displaystyle A}$ จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ

คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอมเหตุผลสนับสนุน" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนักสหัชญาณนิยม (intuitionism) เช่น ไมเคิล ดัมเม็ตต์ (Michael Dummett)

คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวงทางเดียว (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า ${\displaystyle A}$ เป็นผลพวงของ ${\displaystyle \Gamma }$ แล้ว ${\displaystyle A}$ จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ ${\displaystyle \Gamma }$ ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวงไม่เป็นทางเดียว (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}

แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็นนกเพนกวิน}.

• Anderson, A.R.; Belnap, N.D., Jr. (1975), Entailment, vol. 1, Princeton, NJ: Princeton.
• Augusto, Luis M. (2017), Logical consequences. Theory and applications: An introduction. London: College Publications. Series: Mathematical logic and foundations.
• Barwise, Jon; Etchemendy, John (2008), Language, Proof and Logic, Stanford: CSLI Publications.
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
• Davis, Martin, (editor) (1965), The Undecidable, Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions, New York: Raven Press, ISBN 9780486432281 {{citation}}: |first= มีชื่อเรียกทั่วไป (help). Papers include those by Gödel, Church, Rosser, Kleene, and Post.
• Dummett, Michael (1991), The Logical Basis of Metaphysics, Harvard University Press, ISBN 9780674537866.
• Edgington, Dorothy (2001), Conditionals, Blackwell in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic.
• Edgington, Dorothy (2006), "Indicative Conditionals", Conditionals, Metaphysics Research Lab, Stanford University in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Etchemendy, John (1990), The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press.
• Goble, Lou, ed. (2001), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell {{citation}}: |first= มีชื่อเรียกทั่วไป (help).
• Hanson, William H (1997), "The concept of logical consequence", The Philosophical Review, 106 (3): 365–409, doi:10.2307/2998398, JSTOR 2998398 365–409.
• Hendricks, Vincent F. (2005), Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression, New York: Automatic Press / VIP, ISBN 978-87-991013-7-5
• Planchette, P. A. (2001), Logical Consequence in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Quine, W.V. (1982), Methods of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
• Shapiro, Stewart (2002), Necessity, meaning, and rationality: the notion of logical consequence in D. Jacquette, ed., A Companion to Philosophical Logic. Blackwell.
• Tarski, Alfred (1936), On the concept of logical consequence Reprinted in Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics, 2nd ed. Oxford University Press. Originally published in Polish and German.
• Ryszard Wójcicki (1988). Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations. Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
• A paper on 'implication' from math.niu.edu, Implication เก็บถาวร 2014-10-21 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• A definition of 'implicant' AllWords

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ ผลพวงเชิงตรรกะ

• Beall, Jc; Restall, Greg (2013-11-19). "Logical Consequence". ใน Zalta, Edward N. (บ.ก.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 ed.).
• "Logical consequence". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Logical consequence ที่ Indiana Philosophy Ontology Project
• Logical consequence and entailment ที่ PhilPapers
• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Implication", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4