Nollrum

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om ${\displaystyle N(F)\not =\{0\}}$ , och avbildningen ${\displaystyle F}$  kan skrivas med matrisen ${\displaystyle A}$  följer att:

• ${\displaystyle Ax=0}$  har icke-triviala lösningar.

• ${\displaystyle A(x+z)=Ax+Az=Ax}$ , om ${\displaystyle z\in N(F).}$ 

Det vill säga att om du har funnit en lösning ${\displaystyle x}$  till ekvationen ${\displaystyle y=Ax}$  så är även ${\displaystyle x+z}$  en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära differentialekvationer. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen ${\displaystyle y=Ax}$ . Om ${\displaystyle A}$  är någon slags transform som verkar på en insignal ${\displaystyle x}$  och ger en utsignal ${\displaystyle y}$  så kan du, givet enbart utsignalen ${\displaystyle y}$ , inte veta om insignalen i det här fallet var ${\displaystyle x}$  eller ${\displaystyle x+z}$ .

Att ${\displaystyle z}$  hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att ${\displaystyle y=Ax}$  nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid. ${\displaystyle y}$  står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten, ${\displaystyle x}$  innehåller de olika krafter som vi vill applicera och ${\displaystyle A}$  beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att ${\displaystyle Az=0}$  innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

• Bestäm ${\displaystyle N(F)}$  om ${\displaystyle F}$  är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. ${\displaystyle N(F)}$  består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består ${\displaystyle N(F)}$  av alla vektorer längs planets normallinje.

• Bestäm en bas till ${\displaystyle N(F)}$  om ${\displaystyle F:}$  ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ⁴ ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ⁴ ges av matrisen ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&-1&-4\\0&1&-1&0\\0&2&-2&0\\1&0&0&-2\end{pmatrix}}}$ 

Lösning: ${\displaystyle N(F)}$  består av alla de vektorer ${\displaystyle X}$  för vilka ${\displaystyle AX=0}$ , en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis gausselimination:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr|r}2&1&-1&-4&0\\0&1&-1&0&0\\0&2&-2&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\Leftrightarrow {\begin{alignedat}{7}x_{2}&&\;=\;&&x_{3}\\x_{1}&&\;=\;&&2x_{4}\end{alignedat}}}$ 

${\displaystyle x_{3}=t,x_{4}=s\Rightarrow x_{2}=t,x_{1}=2s\Rightarrow X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}=s{\bar {v}}+t{\bar {u}}}$  där vektorerna ${\displaystyle {\bar {v}}}$  och ${\displaystyle {\bar {u}}}$  alltså spänner upp ${\displaystyle N(F)}$  och således utgör en bas för nollrummet.

• Värderum
• Dimensionssatsen
• Kolonnrum
• Radrum

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet