Centrerat polygontal

Ej att förväxla med Centralt polygontal.

Centrerat polygontal är ett tal som representerar en polygon med en punkt i mitten, och som byggs vidare av punkter kring den.

Exempel

Varje talföljd är en multipel av triangeltalen plus 1. Exempelvis är de centrerade kvadrattalen fyra gånger triangeltalen plus 1.

De första centrerade polygontalen är:

Centrerade triangeltal: 1, 4, 10, 19, 31, … (talföljd A005448 i OEIS)
Centrerade kvadrattal: 1, 5, 13, 25, 41, … (talföljd A001844 i OEIS)
Centrerade pentagontal: 1, 6, 16, 31, 51, … (talföljd A005891 i OEIS)
Centrerade hexagontal: 1, 7, 19, 37, 61, … (talföljd A003215 i OEIS)
Centrerade heptagontal: 1, 8, 22, 43, 71, … (talföljd A069099 i OEIS)
Centrerade oktogontal: 1, 9, 25, 49, 81, … (talföljd A016754 i OEIS)
Centrerade nonagontal: 1, 10, 28, 55, 91, … (talföljd A060544 i OEIS) ^[a]
Centrerade dekagontal: 1, 11, 31, 61, 101, … (talföljd A062786 i OEIS)
Centrerade hendekagontal: 1, 12, 34, 67, 111, … (talföljd A069125 i OEIS)
Centrerade dodekagontal: 1, 13, 37, 73, 121, … (talföljd A003154 i OEIS)

Kommentarer

^ Alla perfekta tal förutom 6 är även centrerade nonagontal

Nedan visas exempel på geometriska konstruktioner till några centrerade polygontal. Jämför detta med polygontal.

Centrerade kvadrattal

1		5		13		25

Centrerade hexagontal

1		7		19		37

Formler

Så som kan ses ovan kan det n:te centrerade k-gontalet ges genom att placera k kopior av det (n − 1):te triangeltalet kring en central punkt. Därav kan det n:te centrerade k-gontalet rent matematiskt representeras av

C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.

Precis som reguljära polygontal är det första centrerade k-gontalet alltid 1. Således, för något k, är 1 både k-gontal och centrerat k-gontal. Nästa tal i talföljden för både reguljära k-gontal och centrerade k-gontal kan ges av formeln:

{\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1

som visar att 10 både är reguljärt triangeltal och centrerat triangeltal och 25 både är reguljärt kvadrattal och centrerat kvadrattal.

Ett primtal p kan inte vara reguljärt polygontal utom att varje p är det andra p-gontalet. Däremot är många centrerade polygontal även primtal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Centered polygonal number, 3 augusti 2013.

Neil Sloane & Simon Plouffe (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press : Fig. M3826
Weisstein, Eric W., "Centered polygonal number", MathWorld.
F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd). Oxford University Press. sid. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9

[1] Alla perfekta tal förutom 6 är även centrerade nonagontal

[a]