Portál:Matematika/Odporúčané články

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53

Matematika (z gr. μαθηματικός (mathematikós)= „milujúci poznanie“ > μάθημα (máthema) = „veda, poznanie“) je väčšinou definovaná ako štúdium zákonitostí štruktúry, zmeny a priestoru. Neformálne ju môžeme tiež nazvať štúdiom „diagramov a čísel“. Z formálneho hľadiska je matematika skúmanie axiomaticky definovaných formálnych štruktúr použitím logiky a matematického označenia. Matematiku možno chápať jednoducho ako rozšírenie hovoreného a písaného jazyka s veľmi presne definovanou slovnou zásobou a gramatikou, s cieľom opisovať a skúmať fyzikálne a konceptuálne vzťahy.

Celý článok...

Táles (alebo Thales, Thalés) z Miléta/z Milétu/Míléta/Mílétu; (starogr. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; * cca 624 pred Kr. – † cca 546 pred Kr.) bol starogrécky presokratický filozof, matematik, astronóm, štátnik a inžinier, prvý predstaviteľ milétskej školy.

Podľa Demokrita boli rodičia Tálesa Examys a Kleobula potomkami mýtického zakladateľa Théb Kadma a pochádzali z Fenície. Táles zomrel ako 78-ročný (podľa Sosikrata až ako 90-tnik).

Jeho vedecké zásluhy spočívajú predovšetkým v tom, že s poznatkami východnej resp. orientálnej vedy oboznámil Grékov. Pre svoju bohatú erudíciu i schopnosti bol začlenený ako prvý medzi tzv. siedmimi mudrcmi. Podľa Bertranda Russella s Tálesom filozofia začína svoje dejiny.

Celý článok...

Mersennovo prvočíslo alebo Mersennovo číslo je prvočíslo ktoré sa dá zapísať v tvare ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$ , kde ${\displaystyle n}$  je prirodzené číslo. Príkladom Mersenovho prvočísla je číslo 3 pretože je to prvočíslo a navyše ${\displaystyle 3=2^{2}-1}$ . Prvých 10 Mersennovych prvočísel tvorí postupnosť:

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111...

V súčasnosti je známych 49 Mersennových prvočísel. Zatiaľ najväčšie známe Mersennovo prvočíslo má viac ako 22 miliónov cifier a objavil ho iba nedávno Curtis Cooper z University of Central Missouri v rámci projektu Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), ktorý spája tisícky počítačov po celom svete, aby mohli spojiť svoje sily a hľadať nové prvočísla.

Nutnou podmienkou k tomu, aby bolo ${\displaystyle M_{n}}$  prvočíslom je prvočíselnosť samotného ${\displaystyle n}$ . Totiž, ak je ${\displaystyle n}$  zložené číslo, dá sa vyjadriť v tvare ${\displaystyle n=a.b}$  kde ${\displaystyle a,b}$  sú prirodzené čísla rôzne od 1. Navyše platí vzťah

${\displaystyle M_{n}=M_{ab}=2^{ab}-1=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)}$ 

z ktorého vyplýva, že ${\displaystyle M_{n}}$  je tiež zložené číslo. Preto môže byť ${\displaystyle M_{n}}$  prvočíslom len v tom prípade, ak je prvočíslom aj ${\displaystyle n}$ .

To ale neznamená, že ak je ${\displaystyle n}$  prvočíslom, je ním aj ${\displaystyle M_{n}}$ . Najmenším príkladom je ${\displaystyle M_{11}=2047=23.89}$ .

Celý článok...

Problém 100 väzňov je matematický problém z teórie pravdepodobnosti a kombinatoriky. Aby väzni prežili, musia všetci nájsť svoje vlastné číslo v jednom zo 100 zásuviek, pričom každý väzeň môže otvoriť iba 50 zásuviek a nemôže s ostatnými väzňami komunikovať. Na prvý pohľad vyzerá situácia beznádejná, ale existuje stratégia, ktorá dáva väzňom realistickú šancu na prežitie. Problém bol prvýkrát sformulovaný v roku 2003 dánskym informatikom Peter Bro Miltersenom.

Problém 100 väzňov bol rôzne formulovaný rôznymi autormi. Nasledujúca verzia je voľným prekladom zadania podľa Phillippe Flajoleta a Roberta Sedgewicka:

Riaditeľ väznice sa rozhodne dať poslednú šancu svojim 100 väzňom odsúdeným na smrť. Do svojej kancelárie, kde má 100 zásuviek (označených číslami 1 – 100) náhodne umiestni kartičky s číslami väzňov, ktorí sú tiež označení číslami 1 – 100. Väzni majú po jednom vchádzať do kancelárie. Každému dovolí otvoriť najviac 50 zásuviek. Z miestnosti odchádzajú inou chodbou, nemajú ako podať ďalším čakajúcim väzňom informácie. Riaditeľ väznice sa rozhodol, že omilostí všetkých väzňov, ale iba (práve) vtedy, keď sa každému z väzňov podarí nájsť svoje číslo v jednej z 50 otvorených zásuviek. Ak čo len jeden z nich svoje číslo nenájde, všetci zomrú. Akú stratégiu majú väzni použiť, ak chcú mať čo najväčšiu šancu prežiť?

Celý článok...

Pozičná číselná sústava je dnes prevládajúci spôsob písomnej reprezentácie čísel - dokonca ak sa dnes hovorí o číselných sústavách, sú tým zvyčajne myslené sústavy pozičné. V tomto spôsobe zápisu čísel je hodnota každej číslice daná jej pozíciou v sekvencii symbolov. Každá číslica má touto pozíciou danú svoju váhu na výpočet celkovej hodnoty čísla. Zrejme nevyhnutným predpokladom pre vynájdenie pozičných sústav je objavenie symbolu pre nulu. Výhodou tohto spôsobu zápisu je veľká pružnosť a pomerne malá množina číslic. Za nevýhodu je považovaná veľmi ľahká zmena hodnoty čísla jednoduchým pripísaním číslica pred pôvodné číslo. Preto sa pred peňažné čiastky v banke zvyčajne píše vlnovka, ktorá taký spôsob falšovania znemožňuje.

Kľúčovou charakteristikou pozičných sústav je ich základ. To je zvyčajne prirodzené číslo väčšie ako jedna. Váhy jednotlivých číslic sú potom mocninami tohto základu. Zároveň základ určuje počet symbolov pre číslice používané v danej sústave. Základ zvyčajne značíme z, v literatúre sa však možno stretnúť aj so značením ako r z anglického "radix". V pozičných číselných sústavách má tiež zmysel hovoriť o rádoch čísel. Kde za rád číslice považujeme jej váhu a za rád čísla maximálnu váhu nenulovej číslice.

Desiatková sústava, nazvaná podľa svojho základu (10) má desať symbolov pre číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic sú mocniny čísla 10: ...; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; ... Pre sústavy o vyššom základe ako je tradičný počet číslic (teda desať) sa pre vyššie číslice používajú písmená bez akcentov. Napríklad šestnástková sústava tak má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F.

Celý článok...

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ,

kde ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  sú dĺžky odvesien a ${\displaystyle c}$  je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne, Egypte).

celý článok...

Priestorový uhol je časť priestoru vymedzená rotačnou kužeľovou plochou. Každá taká plocha delí priestor na práve dve časti – priestorové uhly. Priestorový uhol sa určuje tak, že sa uvažuje guľová plocha so stredom vo vrchole V a s ľubovoľným polomerom r, ktorej prienik s priestorovým uhlom je vrchlík na guľovej ploche s obsahom A. Veľkosť priestorového uhla potom určuje pomer medzi A a r², pričom nezávisí na uvažovanej guľovej ploche. Alternatívnou definíciou priestorového uhla je zjednotenie všetkých polopriamok ${\displaystyle {\overrightarrow {VX}}}$  so spoločným začiatkom V, kde bod X leží na guľovom vrchlíku so stredom v bode V. Špecifickým prípadom priestorového uhla je polpriestor, tj. časť priestoru rozdeleného rovinou.

• Symbol veličiny: ${\displaystyle \Omega }$ 
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr
• V astronómii sa okrem steradiánu používa aj staršia jednotka štvorcový stupeň.

celý článok...

(Johann) Carl Friedrich Gauß (lat. forma mena Carolus Fridericus Gauss) (* 30. apríl 1777, Braunschweig – † 23. február 1855, Göttingen) bol jeden z najväčších matematikov a fyzikov všetkých čias. Zaoberal sa teóriou čísel, matematickou analýzou, geometriou, geodéziou, magnetizmom, astronómiou a optikou.

Narodil sa ako syn murára a vodného majstra. Počítať vraj vedel skôr, ako dobre hovoriť. Čítať sa naučil skoro sám. Keď mal Carl tri roky, stalo sa, že opravil zle spočítanú výplatu. No najslávnejšia historka z jeho detstva hovorí o tom, že ako deväťročný školák dokázal za niekoľko sekúnd správne spočítať súčet všetkých čísel od jedna do sto; a pritom odvodiť všeobecný postup pre súčet aritmetického radu. Keď to videl jeho učiteľ, hneď mu zohnal učebnicu matematiky. V roku 1788 (v jedenástich rokoch) Gauß začal študovať na gymnáziu. Keď dostal od miestneho vojvodu štipendium, začal v roku 1792 študovať na Brunswick Collegium Carolinum. Tu nezávisle 'znovuobjavil' Bodeov zákon, binomickú vetu, aritmetický a geometrický priemer, zákon kvadratickej reciprocity a vetu o prvočíslach. S pomocou tohto šľachtica študoval v rokoch 1795 – 99 na univerzite v Göttingene a na univerzite v Helmstede. Vo svojej dizertačnej práci Gauß opísal ako prvý matematik dôkaz o platnosti tzv. základnej vety algebry (každá algebrická rovnica má aspoň jedno možné riešenie).

celý článok...

Richard Chace Tolman (* 4. marec 1881, West Newton, Massachusetts, USA – † 5. september 1948, Pasadena, Kalifornia, USA) bol americký matematický fyzik a fyzikálny chemik. Bol autoritou štatistickej mechaniky. Jeho prínos bol veľmi dôležitý pre teoretickú kozmológiu v rokoch po Einsteinovom objave všeobecnej relativity. Bol profesorom fyzikálnej chémie a matematickej fyziky na California Institute of Technology.

Vyštudoval chemické inžinierstvo na Massachusetts Institute of Technology. Titul bakalára získal v roku 1903 a Ph.D. v roku 1910. V roku 1912 ako prvý použil koncept relativistickej hmotnosti keď napísal, že výraz m₀(1 -v²/c²)^-1/2 je najvhodnejší pre hmotnosť telesa v pohybe. Experimentom v roku 1916 demonštroval, že elektrina sa skladá z elektrónov tečúcich kovovým vodičom.

celý článok...

Teória zložitosti je časť teoretickej informatiky zaoberajúca sa množstvom požadovaných zdrojov počas výpočtu riešiaceho daný problém. Najčastejšie uvažovaným zdrojom je čas (koľko krokov je potrebných na vyriešenie problému) a priestor (koľko pamäti je potrebnej na vyriešenie problému). Príklady ďalších zdrojov sú počet paralelných procesorov a celková práca vynaložená na riešenie problému v paralelnom systéme. Teória zložitosti sa odlišuje od teórie vypočítateľnosti, ktorá skúma len či sa problém dá vyriešiť alebo nie, bez uvažovania o potrebných zdrojoch.

Po založení teórie objasňujúcej, ktoré problémy sa dajú algoritmicky riešiť a ktoré nie, bolo prirodzené sa pýtať na relatívnu výpočtovú zložitosť vypočítateľných funkcií. Na problémy sa pozeráme ako na formálne jazyky, a tak jeden "problém" je často celá množina otázok, kde každá otázka je slovo konečnej dĺžky z tohto jazyka. Napríklad, problém FAKTORIZÁCIA je špecifikovaný nasledovne: na vstupe je dané celé číslo zapísané v binárnom tvare, na výstupe požaduje všetky prvočíselné faktory tohto čísla. Jedna takáto otázka (teda konkrétne jedno slovo z jazyka) sa nazýva inštancia problému; napr. "vráť všetky prvočíselné faktory čísla 15" je jedna inštancia problému FAKTORIZÁCIA.

Celý článok...

Georg Simon Ohm (* 16. marec 1789, Erlangen, Nemecko – † 6. júl 1854, Mníchov, Nemecko) bol nemecký fyzik a matematik, najznámejší objavom po ňom pomenovaného zákona, ktorý ukazuje závislosť elektrického prúdu od napätia. Ohm skúmal tiež fyzikálnu podstatu sluchu. Narodil sa v rodine zámočníckeho majstra. Matka mu predčasne zomrela. Otec aj napriek trvalej zaneprázdnenosti v dielni, sám študoval matematiku a fyziku z kníh a keď syn začal chodiť na gymnázium, vzbudil v ňom záujem o tieto vedy a poskytol mu prvé vedomosti. Ako šestnásťročný začal Ohm študovať matematiku, fyziku a filozofiu na univerzite v Erlangene. Pre nedostatok finančných prostriedkov musel po roku štúdium prerušiť a hľadať si zamestnanie. Stal sa učiteľom matematiky vo švajčiarskom Nidau a potom v Neuchâteli. Až neskôr sa opäť vrátil do rodného Erlangenu, dokončil štúdiá a v roku 1813 získal doktorát. Začas ostal na univerzite ako súkromný docent, ale pre skromné materiálne podmienky musel opäť odísť a prijať miesto profesora fyziky a matematiky na reálnom gymnáziu v Bambergu. Odtiaľ v roku 1817 odišiel na gymnázium do Kolína nad Rýnom, kde vykonal svoje najdôležitejšie objavy.

celý článok...

Pascalov trojuholník je to geometrické usporiadanie kombinačných čísel do tvaru trojuholníka.

Pascalov trojuholník sa v matematike preslávil vďaka svojej symetrii a rôznym skrytým vzťahom. Blaise Pascal si v roku 1653 myslel to isté a poznamenal, že by ich pravdepodobne nevedel opísať v jednej práci. Množstvo prepojení Pascalovho trojuholníka s inými vetvami matematiky urobilo z neho posvätný matematický objekt. Jeho korene však siahajú do dávnejšej histórie. V skutočnosti ho neobjavil Pascal, hoci sa po ňom volá. Bol známy už čínskym učencom z 13. storočia.

Pascalova schéma funguje zhora. Začneme s jednou jednotkou a pod ňu napíšeme dve jednotky zľava a sprava. Ďalšie riadky zostrojíme tak, že na oba okraje napíšeme 1 a stredné čísla dostaneme ako súčet dvojice čísel v predošlom riadku priamo nad miestom, na ktorom práve sme. Napríklad 6 v piatom riadku dostaneme tak, že sčítame 3 + 3 zo štvrtého riadku.

celý článok...

René Descartes, známy aj ako Cartesius (* 31. marec 1596, La Haye, Francúzsko – † 11. február 1650, Štokholm, Švédsko) bol francúzsky filozof, matematik predstaviteľ racionalizmu, špeciálnovedný bádateľ vo viacerých prírodovedných odboroch. Hlboko ovplyvnil celú novovekú vedu.

Postupom od metodického pochybovania k nepochybnému Cogito ergo sum (Myslím, teda som) začal obrat k subjektu, k vlastnej filozofii Ja. Descartes sa tým stal predovšetkým priekopníkom v oblasti kritiky poznania. Rozmanitosť vecí - častí celku nie je podla Descarta (podobne ako podľa atomistov) výsledkom kvalitatívnych zmien. Ich kvalitatívnu rozmanitosť chápe ako výraz kvantitatívnej mnohotvárnosti. Preto napr. zviera chápal ako mechanický stroj. V matematike zaviedol pojem premennej, funkcie, sústavu súradníc (tzv. karteziánsku) a založil analytickú geometriu.

celý článok...

Grahamovo číslo, pomenované po Ronaldovi Grahamovi, je veľké číslo, ktoré je hornou hranicou riešenia určitého problému v Ramseyovej teoréme.

Číslo získalo veľkú popularitu keď ho Martin Gardner opísal v sekcii "Mathematical Games" magazínu Scientific American v novembri 1977, opisujúc, "V nepublikovanom dôkaze, Graham nedávno ustanovil ... hranicu tak rozsiahlu, že drží rekord za najväčšie číslo, ktoré bolo kedy použité v matematickom dôkaze." V Guinnessovej knihe rekordov z roku 1980 zopakovala Gardenerovo vyhlásenie, čo pridalo na popularite tohto čísla.

Grahamovo číslo je nepredstaviteľne väčšie ako ostatné známe veľké čísla ako Googol, Googolplex, a dokonca väčšie ako Skewesovo číslo a Moserovo číslo. V skutočnosti, pozorovateľný vesmír je príliš malý aby obsahoval bežnú digitálnu reprezentáciu Grahamovho čísla, v predpoklade, že každé číslo okupuje aspoň jednu planckovu jednotku. Dokonca umocňovanie vo forme ${\displaystyle \scriptstyle a^{b^{c^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$  sú nepoužiteľné pre tento zámer, aj keď Grahamovo číslo môže byť ľahko popísané pomocou rekurzívnych vzorcov, ktoré využívajú Knuthov zápis. Posledných 10 čísiel Grahamovho čísla sú ...2464195387.

Špecifické celé čísla považované za ďaleko väčšie ako Grahamovo číslo sa od vtedy objavili v množstve serióznych matematických dôkazoch (napr. v spojitosti s Friedmanovými rôznymi konečnými formami Kruskalovho algoritmu).

celý článok...

Prof. RNDr. František Jurga (* 12. apríl 1909, Čadca, Slovensko – † 18. november 1963, Košice, Slovensko) bol slovenský matematik.

Maturoval s vyznamenaním na gymnáziu v Žiline a študoval potom matematiku a deskriptívnu geometriu na Prírodovedeckej fakulte Karlovej univerzity v Prahe. Prvé pôsobisko prof. Jurgu ako stredoškolského profesora bolo gymnázium a neskôr reálka v Košiciach. Po obsadení Košíc v roku 1938 odišiel do Bratislavy ako gymnaziálny profesor. Ešte v čase pôsobenia na strednej škole dostal ponuku prednášať na Slovenskej vysokej škole technickej v Bratislave ako honorovaný docent pre aplikovanú matematiku. V roku 1943 bol promovaný na doktora prírodných vied (RNDr.) na Prírodovedeckej fakulte Slovenskej univerzity v Bratislave.

V Košiciach vznikla v roku 1947 Vysoká škola poľnohospodárskeho a lesníckeho inžinierstva, na ktorej prof. Jurga viedol Katedru matematiky a deskriptívnej geometrie až do roku 1952. Neskôr sa stal riadnym profesorom a viedol ako dekan Lesnícku a drevársku fakultu spomenutej vysokej školy. V tej istej dobe pracoval ako externý dekan Pedagogickej fakulty v Košiciach. V roku 1952 bola v Košiciach zriadená Vysoká škola technická s fakultami strojníckou, hutníckou a baníckou. Prof. Jurga sa stal prvým dekanom Strojníckej fakulty a zakladateľom a vedúcim Katedry matematiky a deskriptívnej geometrie. Koncom päťdesiatych rokov pôsobil ako prorektor VŠT pre mimoriadne formy štúdia. Prof. Jurga sa zaslúžil o odborné organizovanie matematikov a fyzikov. Počas mnohých rokov zastával funkciu predsedu miestnej a neskoršie krajskej pobočky Jednoty česko-slovenských matematikov a fyzikov v Košiciach.

celý článok...

Taylorov rad funkcie f premennej x v bode a je potenčný rad (mocninový rad) so stredom a tvaru

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$ 

pričom

• n=0, 1, 2....
• n sa blíži k nekonečnu
• f⁽ⁿ⁾(a) je n-tá derivácia funkcie f v bode a
• f má v okolí bodu a derivácie všetkých rádov

Taylorov rozvoj (funkcie f premennej x v bode a) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu a sa rovná f(x). Maclaurinov rad je Taylorov rad so stredom v a=0.

Mnoho značne zložitých funkcií je ťažké predstaviť si, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Taktiež elementárne funkcie ako napríklad sínus, cosínus, nadobúdajú najmä iracionálne hodnoty, ktoré nemožno presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Formálne definovať tieto základné goniometrické funkcie a mnohé iné umožňuje práve Taylorov rad. Napríklad pre funkciu sínus platí odhad v okolí nuly

${\displaystyle \sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}}$ 

Táto aproximácia je veľmi silná. Pri výpočte hodnôt funkcie sínus v okolí nuly, možno počítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve polynómy. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne diferenciálneho počtu. Teóriu nezávisle od seba budovali Brook Taylor a Colin Maclaurin. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva Taylorov rad.

celý článok...

Felix Christian Klein (* 25. apríl 1849, Düsseldorf, Nemecko – † 22. jún 1925, Göttingen, Nemecko) bol nemecký matematik, člen Berlínskej akadémie vied (1913).

V roku 1865 začal pôsobiť na Bonskej univerzite, kde sa roku 1868 stal doktorom filozofie. Od roku 1872 pôsobil ako profesor matematiky v Erlangene, od roku 1875 na Mníchovskej vysokej škole technickej. Od roku 1886 pôsobil v Göttingene, kde zostal do konca života. Klein sa venoval problematike neeuklidovskej geometrie, teórii nepretržitých grúp, teórii algebraických rovníc, teórii eliptických funkcií, teórii automorfných funkcií. Svoje geometrické idey vyložil v slávnom Erlangenskom programe (1872).

celý článok...

Claude Elwood Shannon (* 30. apríl 1916, Petoskey, Michigan, USA – † 24. február 2001, Medford, Massachusetts, USA) bol americký matematik a inžinier, jeden zo zakladateľov matematickej teórie informácie, profesor MIT. Svoje hlavné práce venoval algebre logiky, teórii reléovo-kontaktných schém a kybernetike.

Môžeme ho považovať za zakladateľa veku elektronickej komunikácie. Ako matematický inžinier položil základy pre počítačový priemysel a telekomunikácie. Ako prvý si všimol podobnosť medzi Boolovou algebrou a spínacími obvodmi telefónu. Tento poznatok aplikoval na elektrické systémy na Massachusetts Institute of Technology (MIT) v roku 1940. V roku 1942 sa stal jedným zo zamestnancov Bellových laboratórií. Počas svojho pôsobenia v Bell Laboratories, formuloval teóriu vysvetľujúcu komunikáciu informácií a pracoval na probléme najefektívnejšieho odovzdávania informácií. Vrcholom jeho matematického a inžinierskeho skúmania bola matematická teória komunikácie. Pojem entropia bol dôležitým rysom v jeho teórií, v ktorej predviedol, že je rovnocenný s nedostatkom obsahu informácií v správe.

celý článok...

Johann Hönig (* 9. máj 1810, Karlova Studánka, Česko – † 26. október 1886, Viedeň, Rakúsko) bol rakúsky matematik a pedagóg.

Narodil sa v Karlsbrunne (Karlova Studánka na Morave). Po absolvovaní vysokej školy pôsobil v rokoch 1839 – 1843 ako prvý profesor novozriadenej katedry technického kreslenia na Baníckej a lesníckej akadémii v Banskej Štiavnici. Zaviedol prednášky a skúšky z deskriptívnej geometrie, čo narazilo na odpor študentov a stretlo sa aj s nepochopením dvorskej komory ako nadriadeného orgánu akadémie. V roku 1843 prešiel na Polytechnický inštitút vo Viedni, kde sa stal profesorom a prednostom katedry deskriptívnej geometrie. Na čele katedry stál 27 rokov a vychoval prvú silnú generáciu deskriptívnych geometrov (R. Niemtschik, R. Staudigl, P. Skuherský, G. V. Peschka a i.), ktorá sa zaslúžila o rozvoj deskriptívnej geometrie ako vedy a ako bázového predmetu teoretického základu inžinierskeho vzdelávania.

V dejinách deskriptívnej geometrie je označovaný za zakladateľa deskriptívnej geometrie ako vedeckej disciplíny v Rakúsko-Uhorsku. Jeho učebnica Úvod do štúdia deskriptívnej geometrie (Anleitung zum Studium der darstellenden Geometrie, Viedeň 1845) slúžila po tri desaťročia ako vzor vedeckej a učebnicovej literatúry z deskriptívnej geometrie v Rakúsku. Pravidelnými verejnými prednáškami z deskriptívnej geometrie sa zaslúžil o propagáciu tohto predmetu v širšej verejnosti.

celý článok...

Derivácia nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných. Opačným procesom k derivovaniu je integrovanie. Je to jeden zo základných pojmov matematiky, konkrétne diferenciálneho počtu.

Koncept derivácie sa dá intrepretovať rôznymi spôsobmi, napríklad v prípade dvojrozmerného grafu funkcie f(x), je derivácia tejto funkcie v ľubovoľnom bode (v ktorom existuje) rovná smernici dotyčnice tohto grafu. Z toho vidno, že sa pojem derivácie objavuje aj v mnohých geometrických súvislostiach, napr. pri pojme konkávnosť.

Historické definície vyjadrovali deriváciu ako pomer, v akom rast nejakej premennej y zodpovedá zmene inej premennej x, na ktorej má táto premenná nejakú funkčnú závislosť. Pre zmenu hodnoty sa používa symbol Δ, takže tento pomer možno symbolicky zapísať ako

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ .

Derivácia je hodnota podielu pre Δx blížiacej sa k 0. Ak nahradíme konečne malý rozdiel Δx nekonečne malou zmenou dx, získame definíciu derivácie

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ 

čo označuje pomer dvoch infinitezimálných hodnôt. Tento zápis sa číta dy podľa dx a pochádza od Gottfrieda Wilhelma Leibniza.

celý článok...

Benoît B. Mandelbrot (* 20. november 1924, Varšava, Poľsko – † 14. október 2010, Cambridge, Massachusetts, USA) bol americko-francúzsky matematik židovského pôvodu narodený v Poľsku.

Narodil sa vo Varšave, v židovskej rodine pochádzajúcej z Litvy. V roku 1936 sa jeho rodina presťahovala do Paríža (keďže predpovedali nebezpečenstvo hroziace od nacistického Nemecka), preto od svojich jedenástich rokov žil vo Francúzsku. V jeho rodine bola hlboko zakorenená akademická tradícia – jeho matka bola lekárka a k matematike ho priviedli jeho dvaja strýkovia, ktorí sa touto vednou disciplínou zaoberali. Jeden z nich, Szolem Mandelbrojt, bol významný parížsky matematik. Na druhej strane, jeho otec sa živil obchodovaním s textilom.

Mandelbrot otvoril mimoriadne perspektívy pri opisovaní matematických vlastností prírodných predmetov pomocou pojmu fraktálu – považuje sa za otca fraktálovej geometrie. Je známy tiež ako objaviteľ Mandelbrotovej množiny. Na univerzite v Yale bol nositeľom akademickej hodnosti Sterling Professor emeritus v oblasti matematických vied, ktorá sa udeľuje len tým najlepším vo svojom odbore. Pracoval tiež pre IBM vo vývojovom stredisku Thomasa J. Watsona. Mal dvojité americké a francúzske občianstvo, žil v USA.

celý článok...

Vektor je (každý) prvok vektorového priestoru, pričom vektorový priestor je - zjednodušene povedané - množina, ktorej prvky (teda vektory) sa dajú vzájomne sčítavať a násobiť reálnymi alebo komplexnými číslami.

Typickými základnými príkladmi sú:

• aritmetický vektor = usporiadaná konečná postupnosť (reálnych alebo komplexných) čísiel
• geometrický vektor (voľný vektor) = geometricky objekt, ktorý ma smer a dĺžku. Vektor je často reprezentovaný orientovanou úsečkou so začiatočným bodom A a koncovým bodom B.

Špeciálne prípady:

• nulový vektor - jeho dĺžka je nulová, nemá smer a označuje sa ${\displaystyle {\vec {0}}}$ , 0 alebo jednoducho 0
• jednotkový vektor - jeho dĺžka je 1, označuje sa e alebo ${\displaystyle {\vec {e}}}$ 

Historicky sa pôvodne ako vektor chápala orientovaná úsečka (v rovine alebo priestore) s pevným začiatkom alebo koncom.

celý článok...

Ludolfovo číslo, hovorovo ${\displaystyle \pi }$  alebo výnimočne aj Archimedova konštanta (znak je grécke písmeno malé pí) je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Či je kruh malý, alebo veľký , ${\displaystyle \pi \,\!}$  je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa nielen v matematike ale aj vo fyzike, inžinierstve a iných vedách. Ludolfovo číslo je iracionálne, transcendentné číslo, ktorého prvé tri cifry sú 3,14.

Podiel obvodu kruhu k jeho priemeru bol už od staroveku objektom záujmu vedcov. Babylončania okolo roku 2000 pred Kr. zistili, že obvod kruhu je približne trojnásobkom jeho priemeru. Matematický postup výpočtu čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$  sa objavil okolo roku 255 pred Kr. Archimedom zo Syrakrúz. Archimedes pomocou výpočtu obvodu pravidelného vpísaného a opísaného 96 uholníka odhadol hodnotu čísla ${\displaystyle \pi \,\!}$  medzi zlomkami ${\displaystyle {\frac {223}{71}}}$  a ${\displaystyle {\frac {220}{70}}}$  (3,1408 <${\displaystyle \pi \,\!}$ <3,1428). V nemecky hovoriacich krajinách bolo toto číslo nazývané Ludolfovo (Ludolphsche Zahl) podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulen, ktorý ho v roku 1596 určil pomocou Archimedovho postupu na 20 miest a neskôr na 35 miest. Výpočtom sa zaoberal aj Samuel Mikovíny, ktorý pred rokom 1750 určil jeho hodnotu na 25 cifier. Návrh na označenie tohto čísla znakom ${\displaystyle \pi \,\!}$  pochádza z roku 1706 od málo známeho Williama Jonesa, waleského matematika, ktorý sa v 18. storočí stal viceprezidentom Londýnskej kráľovskej spoločnosti. Označenie ${\displaystyle \pi \,\!}$  sa však ujalo až po tom, čo ho začal používať matematik a fyzik Leonhard Euler (najskôr v roku 1736 v diele Mechanika). Potom, čo Johann Lambert v roku 1768 dokázal, že ${\displaystyle \pi \,\!}$  nie je zlomok (iracionálne číslo), vyriešil Ferdinand von Lindemann najvýznamnejší problém spojený s ${\displaystyle \pi \,\!}$ , keď dokázal, že ${\displaystyle \pi \,\!}$  je transcendentné číslo.

celý článok...

Strom alebo stromový graf je grafické vyjadrenie členenia určitej množiny na jej podmnožiny (napr. súbory na podsúbory, strojársky výrobok na podskupiny a súčiastky a pod.). Graf okrem členenia znázorňuje aj postupnosť členenia alebo zlučovania. Spojenie jednotlivých vetiev stromu ukazuje zlúčenie (delenie), pričom dĺžkou vetví môže vyjadriť hladinu, na ktorej sa podskupiny zlučujú (delia).

Strom je neprázdny súvislý graf, ktorý neobsahuje kružnicu (cyklus). Na označenie stromov, ako špeciálnych grafov, sa používa označenie T = (V, H). Písmeno T je z anglickej terminológie (tree – strom).

Les je jednoduchý graf bez kružníc, ktorého komponentami sú stromy.

Strom, ktorý má každej hrane priradený jeden z dvoch možných smerov, sa nazýva orientovaný strom.

Strom možno definovať:

• G je strom.
• Každé dva vrcholy z G sú spojené práve jednou cestou (jednoznačnosť cesty).
• G je súvislý a po odobraní ľubovoľnej hrany sa stane nesúvislým (minimálna súvislosť).
• G neobsahuje kružnicu, ale po pridaní ľubovoľnej hrany vznikne v G kružnica (maximálny graf bez kružníc) .
• G je súvislý a ${\displaystyle \left|V\right|=\left|E\right|+1}$ , kde V je množina vrcholov a E množina hrán grafu G.

celý článok...

Prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. (* 10. november 1936, Žilina) je slovenský matematik. Venuje sa teórii miery a integrálu, teórii pravdepodobnosti a usporiadaných množín.

V rokoch 1942 – 1946 navštevoval Cvičnú školu pri Učiteľskej akadémii v Banskej Bystrici, 1946 – 1953 študoval na gymnáziu a na strednej chlapčenskej škole v Banskej Bystrici a v rokoch 1953 – 1958 absolvoval štúdium na Prírodovedeckej fakulte UK v Bratislave. V roku 1965 získal titul CSc., 1967 doc., a RNDr., 1979 DrSc., 1981 prof. Pôsobil na Stavebnej fakulte SVŠT v Bratislave ako asistent, odborný asistent a docent (1958-1971), ako docent na Prírodovedeckej fakulte UK v Bratislave (1972-1979), ako docent a profesor na Matematicko-fyzikálnej fakulte UK v Bratislave (1980- 1985, dekan 1990-1991), na Vysokej vojenskej technickej škole v Liptovskom Mikuláši ako profesor (1985-1989) a na Matematickom ústave SAV v Bratislave ako vedúci vedecký pracovník a riaditeľ (1992-1998). Od roku 1998 pôsobí na Fakulte prírodných vied UMB v Banskej Bystrici ako profesor, od 2001 ako vedúci Katedry matematiky. V roku 1971 bol spoluzakladateľom časopisu Matematické obzory (výkonný redaktor 1972-1989), od 1995 je vedeckým redaktorom časopisu Obzory matematiky, fyziky a informatiky, je členom viacerých profesných spoločností a organizácií, od 1965 je členom a od 1996 predsedom Jednoty matematikov a fyzikov, od 1993 je členom a v súčasnosti predsedom Slovenskej asociácie Rímskeho klubu a členom českej asociácie Rímskeho klubu.

Celý článok...

Diferenciálny a integrálny počet (často aj infinitezimálny počet) je jedna z centrálnych disciplín matematiky, ktorá sa vyvinula z algebry a geometrie. V súčasnosti tvorí základ matematickej analýzy. Je postavený na dvoch komplementárnych myšlienkach.

Prvým z konceptov je diferenciálny počet, ktorý študuje rýchlosť zmeny, ktorá je zvyčajne vyjadrená smernicou krivky. Diferenciálny počet je založený na probléme hľadanie okamžitej rýchlosti zmeny jednej veličiny vzhľadom na inú. Typické príklady problémov diferenciálneho počtu z reálneho sveta je hľadanie nasledovných veličín:

• zrýchlenie a rýchlosť voľne padajúceho telesa v danom okamihu,
• strata rýchlosti a trajektórie vystreleného projektilu, napr. delovej gule či guľky z pištole,
• zmena v ziskovosti rastúceho podniku v určitom okamihu času.

Druhý koncept je integrálny počet. Študuje akumuláciu veličín, napr. plochy pod krivkou, prejdenú lineárnu vzdialenosť či vytlačený objem. Príklady problémov z reálneho života, na ktoré sa integrálny počet snaží nájsť odpovede, je hľadanie nasledujúcich veličín:

• množstvo vody vypumpovanej pumpou o danom výkone pri meniacich sa podmienkach pumpovacích strát a tlaku,
• množstvo finančných prostriedkov nazhromaždených podnikom pri meniacich sa biznis podmienkach,
• množstvo plochy spracovanej snežným pluhom daného výkonu pri meniacich sa snehových zrážkach.

Tieto dva koncepty, derivácia a integrál, sú navzájom k sebe inverzné presne v zmysle, o ktorom hovorí základná veta diferenciálneho a integrálneho počtu. V rámci prednášok matematickej analýzy je možné stanoviť vlastnú prioritu, aj keď zvyčajný prístup dodržiavaný takmer striktne, je vyučovať najprv diferenciálny počet.

Celý článok...

Leonhard Paul Euler (čítaj Ojler) (* 15. apríl 1707, Bazilej, Švajčiarsko – † 18. september 1783, Petrohrad, Rusko) bol švajčiarsky matematik a fyzik, ktorý prežil väčšinu svojho života v Rusku a Nemecku.

Urobil dôležité zistenia v oblastiach tak rozmanitých, ako je diferenciálny a integrálny počet a teória grafov. Zaviedol aj veľkú časť matematickej terminológie a označenia, obzvlášť v matematickej analýze, ako napríklad zápis matematickej funkcie. Preslávila ho aj práca v oblasti mechaniky, optiky a astronómie.

Považuje sa za popredného matematika 18. storočia a jedného z najväčších matematikov všetkých čias. Bol aj jedným z najproduktívnejších; jeho súborné dielo tvorí 60 – 80 zväzkov. Vyhlásenie pripisované Pierreovi-Simonovi Laplaceovi vyjadruje Eulerov vplyv na matematiku: „Čítajte Eulera, čítajte Eulera, on je majster (učiteľ) nás všetkých.“

Figuroval na šiestich sériách Švajčiarskej 10-frankovej bankovky a na mnohých švajčiarskych, nemeckých a ruských poštových známkach. Asteroid 2002 Euler bol pomenovaný na jeho počesť. Podľa Kalendára svätých Evanjelickej cirkvi si Eulera pripomínajú 24. mája – bol zástancom biblickej neomylnosti, písal apologetiky a argumentoval proti prominentným ateistom svojich čias.

Celý článok...

Akademik Otakar Borůvka (* 10. máj 1899, Uherský Ostroh – † 22. júl 1995, Brno) bol významný český matematik.

Otakar Borůvka sa narodil v Uherskom Ostrohu. Po štúdiu na Masarykovej univerzite v Brne pôsobil na tejto univerzite v r. 1921 – 1970, od r. 1946 ako profesor. Bol žiakom M. Lercha, študoval u E. Cartana v Paríži (1926, 1929) a W. Blaschkeho v Hamburgu (1930). V r. 1953 sa stal členom korešpondentom ČSAV, v r. 1965 akademikom ČSAV. Od r. 1969 až do smrti pracoval v Matematickom ústave akadémie v Brne.

Zomrel 22. júla 1995 v Brne.

Borůvkova vedecká práca pokrýva široké pole matematických disciplín a odráža hlavné trendy vývoja matematiky 20. storočia. Jeho vynikajúce výsledky a nové metódy sa dotýkajú teórie grafov, diferenciálnej geometrie, algebry a teórie diferenciálnych rovníc. Podstatne prispel k rozvoju týchto disciplín a založil vedecké školy. Počas svojej pedagogickej a vedeckej aktivity vychoval mnoho žiakov, väčšina moravských a slovenských matematikov boli jeho žiakmi, alebo žiakmi jeho žiakov.

Celý článok...

(Johann) Carl Friedrich Gauß (lat. forma mena Carolus Fridericus Gauss) (* 30. apríl 1777, Braunschweig – † 23. február 1855, Göttingen) bol jeden z najväčších matematikov a fyzikov všetkých čias. Zaoberal sa teóriou čísel, matematickou analýzou, geometriou, geodéziou, magnetizmom, astronómiou a optikou.

C. F. Gauß sa narodil ako syn murára a vodného majstra. Počítať vraj vedel skôr, ako dobre hovoriť. Čítať sa naučil skoro sám. Keď mal Carl tri roky, stalo sa, že opravil zle spočítanú výplatu. No najslávnejšia historka z jeho detstva hovorí o tom, že ako deväťročný školák dokázal za niekoľko sekúnd správne spočítať súčet všetkých čísel od jedna do sto; a pritom odvodiť všeobecný postup pre súčet aritmetického radu. Keď to videl jeho učiteľ, hneď mu zohnal učebnicu matematiky.

Celý článok...

Strassenov algoritmus, pomenovaný podľa Volkera Strassena, je algoritmus na násobenie matíc. Oproti štandardnému algoritmu násobiacemu matice priamo podľa vzťahu z definície, s časovou zložitosťou ${\displaystyle O(n^{3})}$ , má Strassenov algoritmus o niečo lepšiu asymptotickú časovú zložitosť ${\displaystyle O(N^{\log _{2}7})\approx O(N^{2.81})}$ , čo znamená, že pre veľké matice je Strassenov algoritmus rýchlejší, než štandardný algoritmus.

Strassenov algoritmus nie je asymptoticky optimálny. Najrýchlejší známy algoritmus násobenia matíc, tzv. Coppersmithov–Winogradov algoritmus, má časovú zložitosť približne ${\displaystyle O(n^{2.376})}$ , ale vzhľadom na veľmi veľký konštantný faktor sa táto výhoda prejaví len pre extrémne veľké matice.

Nech ${\displaystyle A,B}$  sú matice typu ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$  (v prípade, že matice nie sú typu ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ , je možné doplniť chýbajúce riadky a stĺpce nulami) nad okruhom ${\displaystyle R}$ . Označme ${\displaystyle C=A\cdot B}$  súčin týchto matíc. Potom platí

Celý článok...

Ludolfovo číslo, hovorovo ${\displaystyle \pi }$  alebo výnimočne aj Archimedova konštanta (znak je grécke písmeno malé pí) je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Či je kruh malý, alebo veľký, ${\displaystyle \pi \,\!}$  je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa nielen v matematike ale aj vo fyzike, inžinierstve a iných vedách. Ludolfovo číslo je iracionálne, transcendentné číslo, ktorého prvé tri cifry sú 3,14.

Celý článok...

Catalanove čísla, pomenované po belgickom matematikovi Eugèneovi Charlesovi Catalanovi, sú postupnosť prirodzených čísel, ktoré sa objavujú ako riešenie viacerých kombinatorických problémov, najmä tých rekurzívneho charakteru. Definujú sa pomocou binomických koeficientov, n-té Catalanovo číslo je definované ako:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}\qquad {\textrm {pre}}\ n\geq 0.}$ 

Celý článok...

Logický klam je tvrdenie porušujúce zásady logického dôkazu. Pretože pri máloktorom je to na prvý pohľad zreteľné, bývajú logické klamy obľúbenou súčasťou argumentácie propagandy a manipulátorov.

Logické klamy a ich rôzne druhy boli rozlišované už Aristotelom. Tento článok uvádza rozdelenie použité v [deprivanti].

Falošná dilema vyvoláva dojem, že existujú iba dve (alebo tri či viac) možností tam, kde ich je v skutočnosti celá škála.

• Kto ma nepodporuje, je môj nepriateľ. (Existujú ľudia, ktorým je to jedno.)
• Sadneme ešte na kávu, alebo ideme domov? (A čo taká prechádzka v parku?)

Tvrdí, že nedokázateľnosť nejakého výroku znamená, že platí opak.

• Nejde dokázať, že Boh neexistuje, teda Boh existuje.
• Nejde dokázať, že Boh existuje, teda Boh neexistuje.
• Jednorožcov ešte nikto nikdy nevidel.
• Keby existovalo UFO, už dávno by sa o tom písalo v novinách.

Celý článok...

Dôkaz je v matematike presvedčivá demonštrácia, že nejaké tvrdenie je za určitých predpokladov (axióm) nevyhnutne pravdivé. Matematický dôkaz musí byť založený výlučne na nespochybniteľných pravidlách rozumu (tie sú vyjadrené v matematickej logike vo forme logických axióm), nepripúšťa sa žiaden postup založený na názore, experimente, pozorovaní, intuícii či skúsenosti. Táto skutočnosť robí z matematického dôkazu najistejší známy spôsob overenia pravdivosti nejakého tvrdenia. Tvrdenie, ku ktorému je známy matematický dôkaz, sa nazýva matematická veta.

Celý článok...

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ,

kde ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$  sú dĺžky odvesien a ${\displaystyle c}$  je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Celý článok...

John von Neumann (po maďarsky Neumann János, po nemecky Johann von Neumann) (* 28. december 1903, Budapešť – † 8. február 1957, Washington) bol maďarský matematik židovského pôvodu, ktorý značnou mierou prispel k vedným odborom ako sú kvantová fyzika, funkcionálna analýza, teória množín, ekonomika, informatika, numerická analýza, hydrodynamika, štatistika a mnoho ďalších matematických disciplín.

Bol jedným z najväčších matematikov dvadsiateho storočia, vypracovaním princípov fungovania počítačov mal rozhodujúci vplyv na vývoj sveta. Je považovaný za otca jednej z najdôležitejších oblastí dnešných ekonomických vied a matematiky, a tým je teória hier.

Celý článok...

Sir Isaac Newton, prezident Kráľovskej spoločnosti (* 4. január 1643, Woolsthorpe-by-Colsterworth, Anglicko – † 31. marec 1727, Kensington,) bol anglický fyzik, matematik a filozof.

Založil infinitezimálny počet a formuloval prvú teóriu sily a gravitácie. Jeho objavy v matematike, optike a mechanike položili základy pre modernú fyziku.

Celý článok...

Grupa je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:

1. Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
2. Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
3. Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).
   Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x^-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.

Celý článok...

Möbiov list alebo Möbiov pás(ik) alebo Möbiova páska alebo Simonyho prstenec (len v staršej literatúre) je plocha, ktorá má len jednu stranu a jednu hranu. Roku 1858 ju nezávisle od seba objavili (resp. vynašli) matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing.

Möbiov list nie je zložitý útvar, napriek tomu veľmi názorne demonštruje javy, ktoré spôsobujú deformácie dvojrozmerného priestoru do tretieho rozmeru.

V euklidovskom priestore jestvujú v skutočnosti dva druhy Möbiovho listu v závislosti od smeru pootočenia konca pri jej realizácii – v smere hodinových ručičiek a v ich protismere. Preto je Möbiov list chirálny (analogicky k pravej a ľavej ruke).

Celý článok...

Zobrazenie (iné názvy: jednoznačné zobrazenie, funkcia (v širšom zmysle), totálna funkcia (v širšom zmysle), priradenie) je predpis (presnejšie binárna relácia), ktorý priraďuje každému prvku jednej množiny (A) práve jeden prvok druhej množiny (B).

Pojem viacznačné zobrazenie/viacznačná funkcia nie je (napriek svojmu názvu) nikdy zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem parciálna funkcia takisto (napriek svojmu názvu) nie je nevyhnutne zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem (len) "zobrazenie" sa však ojedinele definuje tak, že zahŕňa aj parciálne funkcie.

Pojem jednoznačné zobrazenie je "opačný" pojem k pojmu viacznačné zobrazenie. Pojem totálna funkcia je "opačný" pojem k pojmu parciálna funkcia.

Celý článok...

Antoni Zygmund (* 25. december 1900, Varšava, Poľsko – † 30. máj 1992, Chicago, Illinois, USA) bol poľský matematik, ktorý väčšinu svojho tvorivého života prežil v Spojených štátoch amerických.

Jeho práca mala určujúci vplyv na oblasť matematickej analýzy, zvlášť významná je jeho činnosť v odbore harmonickej analýzy, oblasti, ktorá má okrem podstatného významu pre matematiku samotnú aj množstvo praktických aplikácií. Je taktiež autorom niekoľkých vysoko hodnotených odborných kníh, bol členom viacerých akadémií vied. Väčšinu svojho života pôsobil ako vysokoškolský učiteľ – bol vynikajúcim pedagógom – v zoznamoch jeho študentov môžeme nájsť aj viaceré známe mená.

Celý článok...

George Pólya (* 13. december 1887, Budapešť, Maďarsko - † 7. september 1985, Palo Alto, Kalifornia, USA)^[1] bol maďarský matematik. Zaoberal sa veľkým množstvom matematických disciplín, najmä kombinatorikou, teóriou pravdepodobnosti, komplexnou analýzou, parciálnymi diferenciálnymi rovnicami, teóriou potenciálu, teóriou čísel, matematickou fyzikou, či geometriou. Zaoberal sa tiež heuristickými metódami a teóriou vyučovania matematiky. Je autorom viacerých kníh, spomedzi ktorých je pravdepodobne najznámejšia kniha How to Solve It vydaná v roku 1945 a pojednávajúca o metódach riešenia matematických problémov.^[1]

Celý článok...

Karl Menger (* 13. január 1902, Viedeň, Rakúsko – † 5. október 1985, Highland Park, Illinois, USA) bol rakúsky matematik, jeden z najvýznamnejších matematikov 20. storočia. Popri matematike sa vážnejšie venoval filozofii, ekonómii a etike. Bol člen známeho Viedenského krúžku a zakladateľ Viedenského matematického kolokvia.

Celý článok...

Gottfried Wilhelm Leibniz (* 1. júl 1646, Lipsko, Nemecko – † 14. november 1716, Hannover) bol nemecký filozof, predstaviteľ novovekého racionalizmu, fyzik, matematik, diplomat, jeden z posledných polyhistorov a iniciátorov ekumenických snáh. Leibnizovi išlo o hľadanie kompromisu medzi apriórnou vedou, teológiou a empirizmom.

Leibniz prišiel s pokusom odlišným spôsobom ako Spinoza prekonať descartovský dualizmus.

Celý článok...

Henri Léon Lebesgue (* 28. jún 1875, Beauvais, Francúzsko – † 26. júl 1941, Paríž) bol francúzsky matematik.

Zaoberal sa matematickou analýzou, vybudoval modernú teóriu miery a integrálu. Dôležité výsledky dosiahol aj v topológii, teórii potenciálu, variačnom počte, teórii množín a teórii dimenzie. Ku koncu svojho života sa zaoberal aj pedagogikou a históriu. Hoci jeho práce v teórii integrálu boli radikálnym zovšeobecnením predošlého poňatia tohto pojmu, Lebesgue tvrdil, že matematika by sa mala zaoberať konkrétnymi „praktickými“ úlohami: Zredukovaná na všeobecné teórie by matematika bola len krásnou formou bez obsahu. Zomrela by potom veľmi rýchlo.

Celý článok...

Vojtěch Jarník (* 22. december 1897, Praha, dnes Česko – † 22. september 1970, Praha, dnes Česko) bol český matematik. Považuje sa za jedného z najvýznamnejších českých matematikov 20. storočia. Zaoberal sa najmä teóriou čísel a matematickou analýzou.

Je známy hlavne vďaka Jarníkovmu algoritmu (tiež nazývaný Primov algoritmus) na hľadanie minimálnej kostry grafu a jeho dodnes používanej učebnici matematickej analýzy.

Celý článok...

Felix Hausdorff (* 8. november 1868, Vroclav, Poľsko - † 26. január 1942, Bonn, Nemecko) bol nemecký matematik, ktorý sa považuje za jedného zo zakladateľov modernej topológie, a ktorý významne prispel v odvetviach teórie množín, deskriptívnej teórie množín, teórie miery, teórie funkcií a funkcionálnej analýzy.

Celý článok...

Jean Baptiste Joseph Fourier [vyslov: žá(n) batist žozef furié] (* 21. marec 1768, Auxerre, Yonne, Francúzsko - 16. máj 1830, Paríž) bol francúzsky matematik a fyzik najviac známy výskumom Fourierových radov a ich aplikáciou na problémy tepelných tokov. Aj Fourierova transformácia je pomenovaná na jeho počesť.

Celý článok...

Fibonacciho postupnosť je postupnosť čísiel, v ktorej každý ďalší člen F je súčtom dvoch predchádzajúcich.

Postupnosť sa začína číslami 0 a 1, takže dostaneme:

• ${\displaystyle F_{0}=0}$ , postupnosť je (0)
• ${\displaystyle F_{1}=1}$ , postupnosť je (0, 1)
• ${\displaystyle F_{2}=F_{0}+F_{1}=0+1=1}$ , postupnosť je (0, 1, 1)
• ${\displaystyle F_{3}=F_{1}+F_{2}=1+1=2}$ , postupnosť je (0, 1, 1, 2)
• ${\displaystyle F_{4}=F_{2}+F_{3}=1+2=3}$ , postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3)
• ${\displaystyle F_{5}=F_{3}+F_{4}=2+3=5}$ , postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3, 5)
• …

Po zovšeobecnení, pre ${\displaystyle n>1}$ :

${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}}$ 

Celý článok...

Eratosthenes z Kyrény/Kýrény (iné názvy: Eratosthenés z Kyrény/Kýrény, Eratostenes z Kyrény; po grécky Eratosthenes/iný prepis Eratosthenés; * približne 284 pred Kr., Kyréna – † 202 pred Kr., Alexandria) bol grécky matematik, geograf, historik, astronóm, filológ a básnik, ako aj riaditeľ knižnice v Alexandrii. Eratostenes ako prvý zaviedol pojem geografia.

Jeho učiteľmi boli Lysanias z Kyrény a Ariston z Chiosu. Ariston bol filozof a študoval u Zenóna z Kitia, zakladateľa stoickej filozofie, ktorá má korene v helénskej dobe a najvýraznejší vrchol dosiahla o niekoľko storočí neskôr (Lucius Annaeus Seneca, Marcus Aurelius). Ďalším Eratostenovým učiteľom bol Kallimachos, básnik, ktorý pochádzal tiež z Kyrény. Eratostenes študoval v Aténach, kultúrnom centre helénskeho sveta.

Celý článok...

Eduard Čech (* 29. jún 1893, Stračov – † 15. marec 1960, Praha) bol významný český matematik.

Eduard Čech sa narodil v Stračove, v severovýchodných Čechách, 29. júna 1893.

Celý článok...

Teória chaosu je časť matematiky a fyziky, ktorá sa zaoberá systémami, ktorých dynamika za určitých podmienok citlivo závisí od začiatočných podmienok, takže ich správanie nie je dlhodobo predpovedateľné.

Teória chaosu sa zaoberá chovaním istých nelineárnych dynamických systémov, ktoré za istých podmienok vykazujú jav známy ako chaos, najvýznamnejšie charakterizovaný citlivosťou počiatočných podmienok (motýlí efekt). V dôsledku tejto citlivosti sa chovanie týchto fyzikálnych systémov javí ako náhodné, aj keď model systému je deterministický v tom zmysle, že je dobre definovaný a neobsahuje žiadne náhodne parametre. Príklady takýchto systémov zahrnujú atmosféru, solárny systém, tektoniku zemských dosiek, turbulenciu tekutín, atď.

Celý článok...

1. ↑ ^{a b} George Pólya [online]. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, november 2002, rev. 2011-03-05. Dostupné online. (anglicky)