ЭСБЕ/Эллипсоид

Эллипсоид. — Поверхность второго порядка, замкнутая, имеющая центр и пересекаемая всякой плоскостью по эллипсам или кругам, называется Э. (XXXIV, 300). На прилагаемом чертеже изображен Э. с тремя неравными главными взаимно перпендикулярными полуосями: большой ${\displaystyle a=OA}$, средней ${\displaystyle b=OB}$ и малой ${\displaystyle c=OC}$. Если начало координата взято в центре ${\displaystyle O}$ Э., ось Х-ов расположена по ${\displaystyle A'OA}$, ось Y-ов по ${\displaystyle B'OB}$ и ось Z-ов по ${\displaystyle C'OC}$, то уравнение Э. будет:

Поверхность эта обладает, между прочим, следующими геометрическими свойствами. Если через какую-нибудь точку её провести касательную к ней плоскость, то пересечения всех плоскостей, ей параллельных, с поверхностью Э. будут эллипсы, подобные друг другу, с параллельными между собой большими главными осями и с параллельными между собой главными малыми осями. Та плоскость, параллельная касательной плоскости, которая проходит через центр Э., называется диаметральной плоскостью, сопряженной диаметру, проведенному через центр и точку касания. Диаметры ${\displaystyle A'A}$, ${\displaystyle B'B}$, ${\displaystyle C'C}$ называются главными диаметральными, а плоскости эллипсов ${\displaystyle CBC'B'}$, ${\displaystyle ACA'C'}$, ${\displaystyle ABA'B'}$ — главными диаметральными плоскостями. На главном диаметральном эллипсе ${\displaystyle ACA'C'}$ имеются четыре точки, расположенные на концах двух диаметров этого эллипса, наклоненных к оси Х-ов под углами, тангенсы которых равны

${\displaystyle +{\frac {c}{a}}{\sqrt {\frac {b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}}}$, ${\displaystyle -{\frac {c}{a}}{\sqrt {\frac {b^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}}}$.

Точки эти называются точками закругления. Касательные плоскости к Э., проведенные в этих точках, параллельны оси Y-ов и, значит, перпендикулярны в плоскости ${\displaystyle XOZ}$. Плоскости, секущие Э. и параллельные этим плоскостям, дают не эллиптические, но круговые сечения. Те две проходящие через центр плоскости, которые сопряженны двум диаметрам точек закругления, пересекают Э. по двум кругам радиуса b, проходящим через ось Y-ов.

Э. инерции, вращение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции. В статье: Момент инерции (XIX, 692—695) было объяснено значение Э. инерции твердого тела для какой-либо точки и значение главных осей инерции. Если ${\displaystyle A=\sum m(y^{2}+z^{2})}$, ${\displaystyle B=\sum m(z^{2}+x^{2})}$, ${\displaystyle C=\sum m(x^{2}+y^{2})}$ суть моменты инерции вокруг главных осей инерции, проведенных через рассматриваемую точку тела, то величины главных полуосей Э. инерции обратно пропорциональны корням квадратным из этих главных моментов инерции, т. е.:

${\displaystyle a={\sqrt {A}}-1}$, ${\displaystyle b={\sqrt {B}}-1}$, ${\displaystyle c={\sqrt {C}}-1}$,

тогда уравнение Э. инерции принимает вид (1). Надо, однако, заметить, что не всякий Э. может быть Э. инерции; надо, чтобы величины полуосей ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ удовлетворяли некоторому условию. Можно убедиться, что:

${\displaystyle A+B-C=2\sum mz^{2}}$

и, следовательно, эта величина всегда положительная; поэтому ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ и ${\displaystyle c^{2}}$ должны удовлетворять условию:

${\displaystyle ~(a^{2})^{-1}+(b^{2})^{-1}-(c^{2})^{-1}>0}$.

Например, Э., полуоси которого суть ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=2}$, ${\displaystyle c=1}$ не может быть Э. инерции никакого тела, потому что

${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{4}}+-1<0}$.

В тех случаях, в которых Э. инерции есть Э. вращения, то есть когда ${\displaystyle b=a}$, то предыдущее условие обратится в следующее:

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}>{\frac {1}{c^{2}}}}$,

откуда с должно быть больше ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$. Следовательно, Э. инерции может быть удлиненным Э. вращения при произвольной длине ${\displaystyle c}$, бо̀льшей экваториальной полуоси ${\displaystyle a}$, но сжатый или планетарный Э. может быть Э. инерции, если малая полуось с не меньше экваториальной полуоси ${\displaystyle a}$, деленной на ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Если твердому телу, имеющему неподвижную точку, сообщить какой-либо толчок, приводящий его во вращение вокруг этой точки, и если на тело не действуют никакие внешние силы, то вращение, совершаемое телом, называют вращением по инерции. При таком вращении живая сила вращательных движений всего тела остается постоянной; остается также постоянным и момент количества движения всего тела вокруг неподвижной точки (XIX, 695). Момент количества движений всего тела (так назыв. главный момент количества движений тела) может быть изображен линейно, в виде вектора (V, 742), т. е. длины, проведенной из неподвижной точки. Длина эта остается при вращении по инерции постоянной, и направление её остается в пространстве неизменным. Пуансо (XXV, 739) показал, что геометрический характер вращения твердого тела по инерции может быть выражен следующим образом. Тот Э. инерции твердого тела, центром которого служит неподвижная точка, катится без скольжения по двум плоскостям, перпендикулярным к главному моменту количества движения и находящимся на равных постоянных расстояниях по обе стороны неподвижной точки. При катании без скольжения мгновенная ось вращения (VII, 348—349) проходит через точки прикосновения Э. к неподвижным плоскостям. Та кривая линия, которую описывает каждая из двух этих точек прикосновения на поверхности Э., называется полодиею, a та кривая, которую эта точка описывает на неподвижной плоскости, называется эрполодиею. Величина расстояния выше сказанных плоскостей от неподвижной точки зависит от величины живой силы вращения твердого тела и от величины главного момента количества движения. Расстояния эти ни в каком случае не могут быть больше большой полуоси и меньше малой полуоси Э. инерции. Если расстояния эти равны большой, средней или малой полуоси этого Э., то полодии и эрполодии обращаются в точки. Тогда вращение по инерции твердого тела будет совершаться равномерно вокруг одной из главных осей Э. инерции, и самая ось будет сохранять неизменное направление в пространстве. По этой причине главные оси Э. инерции называются главными осями инерции. Когда Э. инерции есть Э. вращения, то полодии суть параллельные круги на Э. и эрполодии суть круги на неподвижных плоскостях. Вращение по инерции такого тела состоит из вращения вокруг оси симметрии Э., причем эта ось равномерно описывает прямой конус вокруг главного момента количества движения. Вращение это аналогично тому, которое описано в конце статьи Вращательное движение (VII, 349).

Э. упругости и Э. деформаций. Ламе (XVII, 297) ввел в теорию упругости представление об Э. упругости. Напряжения сил упругости (см. Упругость, XXXIV, 854), действующие на площадки, проходящие через одну и ту же точку упругого тела, имеют различные величины и направления в зависимости от направления нормали (см. формулы (2) на стр. 854 XXXIV т.). Если изобразить напряжения, приложенные к площадкам всевозможных направлений (но проходящих через одну и ту же точку), длинами, отложенными по направлениям напряжений, то оконечности этих длин образуют поверхность Э. упругости. Ничтожно малые деформации, совершающиеся при переходе упругого тела из естественного состояния в деформированное, происходят так, что если вокруг какой-нибудь точки опишем шар весьма малого радиуса, то частицы, находившиеся в естественном состоянии внутри и на поверхности этого шара, в деформированном состоянии будут находиться внутри и на поверхности некоторого Э. Обратно, можно вокруг точки как вокруг центра описать такой Э., который при деформации обратится в шар; Э. этот называется Э. деформации. Д. Б.