Участник:Distdev/Черновик

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

${\displaystyle {\tfrac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p=const}$

Здесь

${\displaystyle ~\rho }$ — плотность жидкости,

${\displaystyle ~v}$ — скорость потока,

${\displaystyle ~h}$ — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

${\displaystyle ~p}$ — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

${\displaystyle ~g}$ — ускорение свободного падения.

Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли. (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы ${\displaystyle h=0}$ и уравнение Бернулли принимает вид:   ${\displaystyle {\tfrac {\rho v^{2}}{2}}+p=const}$.

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ${\displaystyle \rho }$:   ${\displaystyle v{\tfrac {dv}{dx}}=-{\tfrac {1}{\rho }}\cdot {\tfrac {dp}{dx}}}$.

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового (${\displaystyle \rho gh}$), статического (p) и динамического ${\displaystyle \left({\tfrac {\rho v^{2}}{2}}\right)}$ давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

${\displaystyle \rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0}}$,

где

${\displaystyle p_{0}}$ — атмосферное давление,

${\displaystyle h}$ — высота столба жидкости в сосуде,

${\displaystyle v}$ — скорость истечения жидкости.

Отсюда: ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$. Это — не указано название статьи. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты ${\displaystyle h}$.

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\mathrm {constant} }$^[1] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}}$ — Адиабатическая постоянная газа

${\displaystyle p}$ — давление газа в точке

${\displaystyle \rho }$ — плотность газа в точке

${\displaystyle v}$ — скорость течения газа

${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения

${\displaystyle h}$ — высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле ${\displaystyle gz}$ заменяется на потенциал гравитационного поля.

Из статистической физики следует, что на линиях тока при адиабитическом течении остается постоянным следующее соотношение:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi =\operatorname {const} }$

где ${\displaystyle w}$ — энтальпия единицы массы, ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал силы.

1. Запишем Уравнение Эйлера:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-\rho \nabla \varphi }$

${\displaystyle \varphi }$ — потенциал. Для силы тяжести ${\displaystyle \varphi =gz}$

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

${\displaystyle dW=VdP+TdS}$

Пусть ${\displaystyle S=const}$ и ${\displaystyle w}$ — энтальпия единицы массы, тогда:

${\displaystyle dw={\frac {dp}{\rho }}}$

или

${\displaystyle \nabla w={\frac {\nabla p}{\rho }}}$

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla v^{2}=({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}+{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\vec {l}}\cdot \nabla ={\frac {\partial }{\partial l}}}$ — проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho \left[{\frac {1}{2}}\nabla v^{2}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}\right]=-\rho \nabla (\varphi +w)}$

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0}$ — условие стационарности

${\displaystyle ({\vec {l}},{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})=0}$ — так как ${\displaystyle {\vec {l}}\perp {\vec {v}}}$

Получаем:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=0}$

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi =\operatorname {const} }$

Энергия маленького элемента жидкости: ${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}+U}$ (U - потенциальная энергия)

Слева на большой объем жидкости между двумя поверхностями действует сила ${\displaystyle p_{1}\cdot S_{1}}$, а справа - ${\displaystyle -p_{2}\cdot S_{2}}$ (минус, потому что влево).

Итак, этот объем жидкости сдвинулся (за время ${\displaystyle dt}$). Пусть его левая граница сдвинулась на ${\displaystyle dl_{1}}$, а правая - на ${\displaystyle dl_{2}}$.

Пишем условие несжимаемости: ${\displaystyle S_{1}\cdot dl_{1}=V_{1}=V_{2}=S_{2}\cdot dl_{2}}$. Объёмы, как видно, бесконечно малые, дифференциальные. Их самих можно рассматривать как дифференциалы объёма всего большого элемента.

Далее. Сначала наш большой элемент состоял из левого голубого элемента и средней синей части. Теперь он состоит из средней синей части и правого голубого элемента. При этом все его молекулы сдвинулись, но так как течение стационарное, то в каждой точке со временем энергия не меняется. Поэтому энергия средней синей части не поменялась. Поэтому работа сил (ну, или за бесконечно малое время не сама работа, а её дифференциал) равна изменению энергии, равному, в свою очередь, энергии правого голубого элементика (который добавился) минус энергия левого голубого элементика (который, наоборот, ушёл, влился в средний синий). ${\displaystyle p_{1}\cdot S_{1}\cdot dl_{1}-p_{2}\cdot S_{2}\cdot dl_{2}=dA=E_{2}-E_{1}={\frac {m_{2}\cdot v_{2}^{2}}{2}}+U_{2}-{\frac {m_{1}\cdot v_{1}^{2}}{2}}-U_{1}={\frac {\rho V_{2}v_{2}^{2}}{2}}+U_{2}-{\frac {\rho V_{1}v_{1}^{2}}{2}}-U_{1}}$.

Теперь вспоминаем формулу несжимаемости и сокращаем на объём. ${\displaystyle p_{1}-p_{2}={\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}-{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}+{U_{2} \over V_{2}}-{U_{1} \over V_{1}}}$.

Сгруппируя слагаемые, получаем формулу Бернулли: ${\displaystyle p_{1}+{U_{1} \over V_{1}}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+{U_{2} \over V_{2}}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}}$, или просто ${\displaystyle p+{\frac {U}{V}}+{\frac {\rho v^{2}}{2}}=const}$, или, подставив потенциальную энергию, ${\displaystyle p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}=const}$.