Предел функции

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0,841471
0,1	0,998334
0,01	0,999983

Хотя функция ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ в нуле не определена, однако когда ${\displaystyle x}$ приближается к нулю, её значение становится сколь угодно близко к 1. Иными словами, предел функции в нуле равен 1.

Преде́лом фу́нкции (предельным значением функции) в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности. Изначально под пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$ понимали предел последовательности значений функции: ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),\dots }$, соответствующих последовательности элементов области определения функции ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\dots }$, сходящейся к точке ${\displaystyle x}$. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в любой окрестности данной точки существуют точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. При этом предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо конкретно указывать способ сходимости функции, для чего вводят так называемую базу подмножеств области определения функции, и тогда определение предела функции формулируют по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Также благодаря рассмотрению расширенной вещественной прямой (на которой базу окрестностей можно построить и для бесконечно удалённой точки) можно определить такие понятия, как предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также стремление самой функции к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента) как раз представляет собой пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции в точке означает, что для любого заданного значения области значений можно подобрать такую окрестность этого значения, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)}$ и точку стремления ${\displaystyle x_{0},}$ являющуюся предельной точкой для области определения ${\displaystyle f,}$ но не обязанную ей принадлежать. Существуют несколько равносильных определений предела функции — среди них есть сформулированные Гейне и Коши.

Значение ${\displaystyle A}$ называется пределом (предельным значением) функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0},}$ если для любой последовательности точек ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, сходящейся к ${\displaystyle x_{0}}$, но не содержащей ${\displaystyle x_{0}}$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ${\displaystyle x_{0}}$), последовательность значений функции ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к ${\displaystyle A}$^[1].

Значение ${\displaystyle A}$ называется пределом (предельным значением) функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0},}$ если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно подобрать соответствующее ему положительное число ${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )}$ такое, что для всех аргументов ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta ,}$ выполняется неравенство: ${\displaystyle 0\leqslant |f(x)-A|<\varepsilon ,}$ то есть ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$^[1].

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow {\Big [}\forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta {\big (}\varepsilon )>0~\forall x~(0<|x-x_{0}|<\delta {\big )}\Rightarrow {\big (}|f(x)-A|<\varepsilon {\big )}{\Big ]},}$

где:

• ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности;
• ${\displaystyle \exists }$ — квантор существования;
• ${\displaystyle \Rightarrow }$ — импликация.

Значение ${\displaystyle A}$ называется пределом (предельным значением) функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0},}$ если для любой окрестности ${\displaystyle O(A)}$ точки ${\displaystyle A}$ существует проколотая окрестность ${\displaystyle {\dot {O}}(x_{0})}$ точки ${\displaystyle x_{0}}$ такая, что образ этой окрестности ${\displaystyle f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )}}$ лежит в ${\displaystyle O(A)}$. Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье «Предел вдоль фильтра».

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow {\big [}\forall O(A)~\exists {\dot {O}}(x_{0})~f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )}\subseteq O(A){\big ]}.}$

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

• число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции по (при) базе ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, если для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такой элемент ${\displaystyle B}$ базы, что для любого ${\displaystyle x\in B}$ выполнено ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$.

Если ${\displaystyle a}$ — предельная точка множества ${\displaystyle E}$, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве ${\displaystyle E}$ не пуста, а значит, существует база проколотых окрестностей в точке ${\displaystyle a}$. Эта база имеет специальное обозначение «${\displaystyle x\to a,x\in E}$» и читается «при ${\displaystyle x}$, стремящемся к ${\displaystyle a}$ по множеству ${\displaystyle E}$». Если область определения функции ${\displaystyle f}$ совпадает с ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «${\displaystyle x\to a}$» и читается «при ${\displaystyle x}$, стремящемся к ${\displaystyle a}$».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

• ${\displaystyle E_{a}^{-}=E\cap \mathbb {R} _{a}^{-}}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{-}=\{x\in \mathbb {R} \colon x<a\}}$;
• ${\displaystyle E_{a}^{+}=E\cap \mathbb {R} _{a}^{+}}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{+}=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\}}$.

Соответственно этому вводятся две базы:

• «${\displaystyle x\to a,x\in E_{a}^{-}}$», которая коротко обозначается в виде «${\displaystyle x\to a-,x\in E}$» или ещё проще «${\displaystyle x\to a-}$»;
• «${\displaystyle x\to a,x\in E_{a}^{+}}$», которая коротко обозначается в виде «${\displaystyle x\to a+,x\in E}$» или ещё проще «${\displaystyle x\to a+}$».

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны^[1]. Для доказательства этого необходимо и достаточно принять счётную аксиому выбора. Однако в иных формальных системах, например в конструктивной математике, эквивалентность опровергается на примерах.

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция вещественной переменной имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значений функции, когда по модулю её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

• Пусть числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на множестве ${\displaystyle X}$, в котором может находиться сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного ${\displaystyle \delta }$ найдётся элемент множества ${\displaystyle X,}$ лежащий за границами отрезка ${\displaystyle \left[-\delta ,+\delta \right]}$. В этом случае число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ на бесконечности, если для всякой последовательности точек ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },}$ которая начиная с некоторого номера n будет по модулю неограниченно расти, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A.}$

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }{\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.}$

• Пусть числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на множестве ${\displaystyle X}$, в котором для любого числа ${\displaystyle \delta }$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ на плюс бесконечности, если для всякой последовательности точек ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },}$ которая начиная с некоторого номера n будет неограниченно расти в положительную сторону, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках ${\displaystyle \{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A}$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }(\exists k\in \mathbb {N} ~\forall l\in \mathbb {N} ~l>k\Rightarrow x_{l}>0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )},}$

  где ${\displaystyle \land }$ — конъюнкция.

• Пусть числовая функция ${\displaystyle f\left(x\right)}$ задана на множестве ${\displaystyle X}$, в котором для любого числа ${\displaystyle \delta }$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ на минус бесконечности только при условии, что для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ сходится к числу ${\displaystyle A}$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }(\exists k\in \mathbb {N} ~\forall l\in \mathbb {N} ~l>k\Rightarrow x_{l}<0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.}$

• Пусть числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на множестве ${\displaystyle X}$, в котором найдётся сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного ${\displaystyle \delta }$ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка ${\displaystyle [-\delta ,+\delta ]}$. В этом случае число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ на бесконечности, если для произвольного положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ отыщется отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех точек, превышающих ${\displaystyle \delta }$ по абсолютному значению, справедливо неравенство ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~|x|>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .}$

• Пусть числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на множестве ${\displaystyle X}$, в котором для любого числа ${\displaystyle \delta }$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех точек, лежащих правее ${\displaystyle \delta }$, справедливо неравенство ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon }$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .}$

• Пусть числовая функция ${\displaystyle f\left(x\right)}$ задана на множестве ${\displaystyle X}$, в котором для любого числа ${\displaystyle \delta }$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех точек, лежащих левее ${\displaystyle \left(-\delta \right)}$, справедливо неравенство ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }$.

  ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0~\forall x\in X~x<-\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .}$

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на множестве ${\displaystyle X}$, имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка ${\displaystyle A}$ называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся такая достаточно большая окрестность нуля, что все значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall O(A)~\exists O(0)~f{\big (}X\setminus O(0){\big )}\subseteq O(A)}$

Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число ${\displaystyle l}$ называется частичным пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0},}$ если существует такая бесконечная подпоследовательность последовательности ${\displaystyle x_{n}\to x_{0},x_{n}\neq x_{0},}$ «проходя» по которой с неограниченным увеличением номера функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle l.}$ Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle \varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x),}$ наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и обозначается ${\displaystyle \varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x).}$ Для существования предела функции в точке ${\displaystyle x_{0}}$ необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x)=\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x)}$^[2].

Если в точке ${\displaystyle x_{0}}$ у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle x_{0}}$, и пишут одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A;}$
• или ${\displaystyle f(x)~{\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}A.}$

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A;}$
• или ${\displaystyle f(x)~{\xrightarrow[{x\to \infty }]{}}A.}$

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на плюс бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=A;}$
• или ${\displaystyle f(x)~{\xrightarrow[{x\to +\infty }]{}}A.}$

Если у функции ${\displaystyle f(x)}$ существует предел на минус бесконечности, равный ${\displaystyle A}$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ стремится к ${\displaystyle A}$ при стремлении ${\displaystyle x}$ к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A;}$
• или ${\displaystyle f(x)~{\xrightarrow[{x\to -\infty }]{}}A.}$

Пусть даны числовые функции ${\displaystyle f,g\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ и точка стремления ${\displaystyle a\in M'.}$^{[прояснить]}

• Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

  ${\displaystyle \left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{1}\right)\land \left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{2}\right)\Rightarrow (A_{1}=A_{2})}$

• Сходящаяся функция сохраняет знак только локально и никак иначе. Более общо́:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge (A>B)\Rightarrow \left(\exists \epsilon >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~f(x)>B\right),}$

где ${\displaystyle {\dot {U}}_{\epsilon }(a)}$ — проколотая окрестность точки ${\displaystyle a}$ радиуса ${\displaystyle \epsilon .}$

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A>0\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~f(x)>0\right).}$

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0~\exists K>0~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M~|f(x)|\leqslant K\right).}$

• Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

  ${\displaystyle \exists \lim \limits _{x\to a}f(x)=A\neq 0\Rightarrow \exists \delta >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\delta }(a)~|f(x)|\geqslant {\frac {A}{2}}.}$

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

  ${\displaystyle \left(\exists \varepsilon >0~\forall x\in {\dot {U}}_{\varepsilon }(a)~f(x)\leqslant g(x)\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow (A\leqslant B).}$

  • Строгие неравенства при переходе к пределу могут не сохраниться. Пример: ${\displaystyle f(x)=x^{2};\ g(x)=|x|.}$ В близкой окрестности нуля ${\displaystyle f(x)<g(x),}$ но их пределы в нуле совпадают.
• Теорема о двух милиционерах.
• Правило Лопиталя: если ${\displaystyle f(x),\,g(x)}$ — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle a}$, где ${\displaystyle a}$ — действительное число или один из элементов ${\displaystyle +\infty ,-\infty ,\infty }$, причём
  1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0}$ или ${\displaystyle \infty }$;
  2. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ в ${\displaystyle U}$;
  3. существует ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$;

тогда существует ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.

• Предел суммы равен сумме пределов:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)+g(x){\bigr ]}=A+B\right);}$

• Предел разности равен разности пределов:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)-g(x){\bigr ]}=A-B\right);}$

• Предел произведения равен произведению пределов:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)\cdot g(x){\bigr ]}=A\cdot B\right);}$

• Предел частного равен частному пределов:

  ${\displaystyle \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\neq 0\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {A}{B}}\right);}$

• Предел композиции:

  ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A,\;\lim _{y\to A}g(y)=B\;\Rightarrow \;\lim _{x\to a}g\left(f(x)\right)=B.}$

• Константная функция имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен самой константе.

  ${\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} \lim _{x\to x_{0}}c=c.}$

• Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел, равный этой точке.

  ${\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} \lim _{x\to x_{0}}{\text{id }}x=\lim _{x\to x_{0}}x=x_{0}.}$

• Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.

  ${\displaystyle \forall x_{0}\in \mathbb {R} ~\not \exists \lim _{x\to x_{0}}D\left(x\right).}$

• Функция Римана не имеет предела только в рациональных точках.

  ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {Q} \Leftrightarrow \not \exists \lim _{x\to x_{0}}R\left(x\right)=0.}$

• Функция ${\displaystyle 1/x}$ имеет предел на бесконечности, равный нулю.

  ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

• Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.

  ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {arctg} ~x=+{\frac {\pi }{2}},}$

  ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} ~x=-{\frac {\pi }{2}},}$

  ${\displaystyle \not \exists \lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} ~x.}$

• Правило Лопиталя
• Замечательные пределы
• Повторный предел
• Непрерывная функция
• Список пределов

• Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
• Зорич В. А. Математический анализ. — Москва: Издательство МЦНМО, 2012. — Т. В двух томах.

• Предел функции Архивная копия от 23 марта 2020 на Wayback Machine . Габович. И. Квант.1980 №10
• Предел функции в точке. Теоретическая справка Архивная копия от 7 мая 2009 на Wayback Machine