Нормальная форма игры

В теории игр, игра в нормальной или стратегической форме (англ. normal form) состоит из трех элементов: множества игроков, множества чистых стратегий каждого игрока, множества платежных функций каждого игрока. Таким образом, игру в нормальной форме можно представить в виде n-мерной матрицы (таблицы), элементы которой это n-мерные платежные вектора. Эта таблица называется платёжной матрицей (англ. payoff matrix).

Игрой в нормальной форме называется тройка ${\displaystyle G=\left\langle P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} \right\rangle }$, где

${\displaystyle P=\{1,2,\ldots ,m\}}$ — множество игроков

${\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m}\}}$ — множество множеств чистых стратегий каждого игрока,

${\displaystyle \mathbf {F} =\{F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}\}}$ — множество функций платежей для каждого игрока.

У каждого игрока ${\displaystyle i\in P}$ имеется конечный набор чистых стратегий ${\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,n_{i}\}}$ и функция полезности (функция платежа) ${\displaystyle F_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{m}\rightarrow \mathbb {R} }$.

Исход игры — это комбинация чистых стратегий каждого игрока:

${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{m})}$

где ${\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{m}\in S_{m}}$.

Случай двух игроков — двух чистых стратегий отображен на таблице. Чистые стратегии первого игрока: U и D. Чистые стратегии второго игрока: L и R. Если первый игрок выбирает U, а второй игрок (единовременно) выбирает L, то соответствующие платежи равны 4 и 3 (первый элемент вектора (4, 3) обозначает платеж первого игрока, а второй — платеж второго игрока в случае, если были выбраны стратегии U и L). То есть чтобы найти распределение платежей, соответствующих каждому набору сыгранных стратегий, необходимо просто найти вектор, находящийся на пересечении соответствующих рядов и колонок таблицы (ряды соответствуют стратегиям первого игрока, а колонки — стратегиям второго игрока). Сыгранная комбинация стратегий называется исходом игры. В данном примере исход игры (U, L). Все возможные исходы для этой игры: {(U, L), (U, R), (D, L), (D, R)}. Очевидно, каждая ячейка таблицы соответствует одному из возможных исходов.

В общем случае предполагается, что игрок имеет предпочтения на множестве исходов. То есть для каждого игрока заданы бинарные ��тношения между элементами этого множества. Это значит, что игрок может сравнить любые два исхода: игрок или отдает предпочтение одному из двух исходов или остаться безразличным между обоими исходами. При определенных дополнительных предположениях относительно предпочтений игрока можно показать, что существует функция полезности Неймана-Монгенштерна представляющая полезность каждого исхода как действительное число u(s), при чём если u(s)≥u(s’) <=> игрок предпочитает (или безразличен) исход s исходу s’. В нашем примере первый игрок предпочитает исход (U, L) исходу (D, R) так как 4>3.

В играх с полной информацией описание игры известно всем игрокам (все игроки знают чистые стратегии и функции полезности всех остальных игроков). В играх с неполной информацией некоторые игроки могут не знать функции полезности других игроков (то есть не знать некоторые конкретные значения для ячеек таблицы из нашего примера).

Любая игра в экстенсивной форме может быть представлена игрой в нормальной форме (не обязательно эквивалентной). Представление игры в нормальной форме может быть использовано для нахождения доминируемых стратегий.

• Развёрнутая форма игры

• Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: Макс-пресс, 2005. — 272 с. — ISBN 5-317-01388-7.
• Данилов В. И. Лекции по теории игр. — М.: РЭШ, 2002. — 140 с. : ил. ISBN 5-8211-0193-X
• Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учебное пособие для университетов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.