Многоугольник

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым^[1]. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин^[2].

Существуют два различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым^[1]:

• одномерный многоугольник — замкнутая ломаная (не обязательно плоская) без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• двумерный многоугольник, или многоугольная фигура — часть плоскости, ограниченная замкнутой плоской ломаной без самопересечений; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.^[1]

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить ${\displaystyle 180^{\circ }}$ в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между ${\displaystyle 180^{\circ }}$ и внутренним углом, он может принимать значения от ${\displaystyle -180^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с ${\displaystyle n}$ вершинами называется ${\displaystyle n}$-угольником.

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного ${\displaystyle n}$-угольника равен ${\displaystyle \{n\}}$.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.^[3] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Сумма внутренних углов простого плоского ${\displaystyle n}$-угольника равна^[4] ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна ${\displaystyle 360^{\circ }.}$

• Число диагоналей всякого ${\displaystyle n}$-угольника равно ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$.

Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ — последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$, где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона ^[5].

Площадь правильного ${\displaystyle n}$-угольника вычисляется по одной из формул^[6]:

• половина произведения периметра ${\displaystyle n}$-угольника на апофему:
• ${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$.
• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};}$
• ${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

где ${\displaystyle a}$ — длина стороны многоугольника, ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, таких, что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$.

Рассмотрим произвольный многоугольник (не обязательно на плоскости), то есть замкнутую ломаную линию^[7][8][9].

Ориентированный многоугольник, или замкнутый многоугольный путь, — многоугольник (возможно, самопересекающийся), у которого (см. рисунок справа с выпуклым многоугольником)^[7][8][9]:

• на каждой стороне задано направление, то есть одна из вершин стороны выбрана начальной, а другая — конечной;
• начало каждой стороны есть конец предыдущей.

Ориентация площади простого многоугольника — площадь области плоскости, ограниченной ориентированным простым (то есть не самопересекающимся) плоским многоугольником, назначается положительной, ��сли обход многоугольника по направлению его сторон происходит против часовой стрелки, то есть эта область плоскости остаётся слева при обходе, и отрицательной в противоположном случае (см. рисунок справа с отрицательной ориентацией площади)^[7][8][9].

Определим площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника, который делит плоскость на фиксированное количество связных кусков^[7][8].

Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника — разность ${\displaystyle p-q}$, где числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ получаются следующим образом^[7][8]:

• точка, внешняя по отношению к многоугольнику части плоскости, соединяется отрезком с внутренней точкой выбранного куска;
• направленный многоугольник пересекает этот отрезок ${\displaystyle p}$ раз слева направо и ${\displaystyle q}$ справа налево.

Утверждение 1. Коэффициент куска самопересекающегося ориентированного многоугольника не зависит от положения внешней точки многоугольника и может быть равен положительному или отрицательному целому числу или нулю^[7][8].

Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника — взвешенная сумма обычных площадей всех кусков самопересекающегося многоугольника, в которой обычная площадь куска умножается на его коэффициент^[7][8].

Практическое применение. Площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника важна для теории математических приборов^[англ.], в частности, для теории планиметра. В этом случае площадь самопересекающегося ориентированного многоугольника равна следующим величинам:

• ${\displaystyle \oint {\frac {\rho ^{2}dw}{2}}}$ в полярных координатах ${\displaystyle (\rho ,w)}$;
• ${\displaystyle \oint ydx}$ в декартовых координатах ${\displaystyle (x,y)}$,

где соответственно конец радиус-вектора ${\displaystyle \rho }$ или ордината ${\displaystyle y}$ один раз пробегают данный замкнутый многоугольный путь^[7].

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

• Делоне Б. Н. Многоугольник // Математический энци��лопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 378—379.
• Многоугольник // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 16. Мёзия — Моршанск. 1974. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт. С. 376—377. Многоугольник // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 7 апреля 2023 на Wayback Machine
• Сидоров Л. А. Многоугольник // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 749—752.

	В Викисловаре есть статья «многоугольник»

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.