Возвратное уравнение

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0\Leftrightarrow a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\dots }$

${\displaystyle \dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\dots }$

${\displaystyle \dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}=0}$

для нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ и

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))=0\Leftrightarrow a_{0}x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\dots }$

${\displaystyle \dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\dots }$

${\displaystyle \dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0}$

для чётной степени ${\displaystyle 2n}$, где ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении^[1].

Многочлен ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=}$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}}$ нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ называется возвратным, если для некоторого ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ равенство ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(n-k)+1}}$ верно при любом ${\displaystyle k}$.
Многочлен ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=}$ ${\displaystyle a_{2n}x^{2n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}}$ чётной степени ${\displaystyle 2n}$ называется возвратным, если для некоторого ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ равенство ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(n-k)}}$ верно при любом ${\displaystyle k}$.

• В случае, если ${\displaystyle \lambda =1}$, то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом)^[1].

Любой возвратный многочлен ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))}$ нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ имеет корень ${\displaystyle -\lambda }$ и представляется в виде произведения линейного многочлена ${\displaystyle (x+\lambda )}$ и многочлена ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )}}$, имеющего чётную степень ${\displaystyle 2n}$ и являющегося возвратным.

Рассмотрим теперь возвратный многочлен ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))}$ чётной степени ${\displaystyle 2n}$. По определению возвратного многочлена ${\displaystyle a_{0}\lambda ^{n}\neq 0}$, следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}}$, где сумму ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}}$ можно переписать в виде многочлена относительно ${\displaystyle t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}}$ степени ${\displaystyle n}$.

Найдя все корни ${\displaystyle t_{i}}$ полученного уравнения и решив все уравнения вида ${\displaystyle t_{i}=x+{\frac {\lambda }{x}}}$ относительно ${\displaystyle x}$, получаем корни изначального возвратного уравнения ${\displaystyle x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}}$.

Как было показано выше, возвратные уравнения степеней ${\displaystyle 2n}$ и ${\displaystyle 2n+1}$ сводятся к решению уравнений степени ${\displaystyle n}$, которые разрешимы в радикалах вплоть до ${\displaystyle n=4}$ по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение ${\displaystyle {\Big (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}{\Big )}/2}$, позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме ${\displaystyle (-\lambda )}$ для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени ${\displaystyle n}$ относительно ${\displaystyle t}$, является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно ${\displaystyle t}$ степени не более ${\displaystyle 4}$, разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает ${\displaystyle 9}$.

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (англ.) на MathPages.