Вектор (алгебра)

Ве́ктор — это элемент векторного пространства. С точки зрения математики представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при смене системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой сущность, не зависящую от выбора системы координат. Точнее, вектор является разновидностью тензора, а именно, вектор — это тензор первого ранга.

Два вектора называются равными, если они:

1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены

Различают понятие свободного и связанного вектора.

• Связанный вектор — представитель соответствующего класса.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков.

В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми как коэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.

Вектор в N-мерном евклидовом пространстве имеет координаты ${\displaystyle {\overline {a}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$. Тогда норма вектора (или его длина) будет равна: ${\displaystyle |{\overline {a}}|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$

Пусть есть два вектора ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$. Построим равные им векторы ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overline {BC}}}$. Вектор ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ называют суммой векторов и обозначают${\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$. Для операции сложения векторов выполняется свойство дистрибутивности.

Пусть дан вектор ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и действительное число ${\displaystyle \alpha }$. Произведением ${\displaystyle \alpha {\overline {a}}}$ называют такой вектор ${\displaystyle {\overline {b}}}$, что

• ${\displaystyle |{\overline {b}}|=\alpha \;|{\overline {a}}|}$;
• ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ сонаправлены, если ${\displaystyle \alpha >0}$ и противоположно направлены, если ${\displaystyle \alpha <0}$ (при этом они коллинеарны).

Скалярным произведением ${\displaystyle ({\overline {a}},{\overline {b}})}$ векторов ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ называют число ${\displaystyle |a||b|\cos \varphi }$, где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между векторами ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$. Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой ${\displaystyle ({\overline {a}},{\overline {b}})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}$.

Векторным произведением ${\displaystyle [{\overline {a}}{\overline {b}}]}$ векторов ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ называют вектор, имеющий длину ${\displaystyle |a||b|\sin \varphi }$, где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между векторами ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$, перпендикулярный векторам ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ и образующий с ними правую тройку векторов.

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение, именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). В математике вектор из n элементов можно символически обозначить несколькими способами:

${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {a}}=\langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\rangle =\left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\right)}$.

Готические (Fraktur) буквы ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ часто заменяются надчёркнутыми латинскими ${\displaystyle {\bar {a}}}$, а вектора физических величин сопровождаются стрелочкой ${\displaystyle {\vec {a}}}$.

Длина (модуль) вектора ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ — скаляр и обозначается ${\displaystyle |{\mathfrak {a}}|}$.

Число элементов вектора — счётное, может быть конечным или бесконечным. Элементы можно получить с помощью дискретной спектральной функции f(ω), где аргумент ω из натурального множества ℕ перечисляет измерения, а функция возвращает значение координаты в этом измерении. Сами вектора, оставаясь одномерными массивами, часто используются для кодирования координат точек, состояний в многомерных пространствах, системах. Данная функциональная трактовка также позволяет обобщить вектор до объекта из непрерывномерного пространства.

Например, скалярное произведение векторов является частным случаем скалярного умножения функций

${\displaystyle {\mathfrak {ab}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,b_{i}}$

${\displaystyle (f(x)g(x))=\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}$

• Векторный анализ
• Двумерный вектор
• Трёхмерный вектор
• Нулевой вектор
• Единичный вектор
• Многомерный вектор
• Скалярное произведение
• Векторное произведение

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.