Воспользуемся определением натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$  как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств ${\displaystyle C,A,B}$  порождённых биекциями, с помощью скобок: ${\displaystyle [C],[A],[B]}$ . Тогда арифметическая операция «возведение в степень» определяется следующим образом:

где: ${\displaystyle A{\widehat {}}B=\{(a^{b})\mid a\in A,b\in B\}}$  прямое произведение множества ${\displaystyle a}$  на себя ${\displaystyle b-1}$  раз — множество  ${\displaystyle C}$ , элементами которого являются упорядоченные комбинации ${\displaystyle (a,a,...,a)}$  для всевозможных  ${\displaystyle a\in A,b\in B}$ . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

• ${\displaystyle A}$  упорядоченное по типу ${\displaystyle a}$ , то множество ${\displaystyle A^{b}}$  последовательностей длины ${\displaystyle b}$  с элементами из ${\displaystyle A}$  с обратным лексикографическим порядком (сравнение справа налево) упорядочено по типу ${\displaystyle a^{b}}$ .
• . Пусть ${\displaystyle A}$  — множество, упорядоченное по типу ${\displaystyle a}$ . Ординал ${\displaystyle a^{b}}$  по определению есть точная верхняя грань ${\displaystyle a^{b}}$  для натуральных ${\displaystyle b}$ . Ординал ${\displaystyle a^{b}}$  есть порядковый тип множества ${\displaystyle A^{b}}$ , упорядоченного в обратном лексикографическом порядке. Чтобы найти точную верхнюю грань, представим множества ${\displaystyle A^{b}}$  как начальные отрезки друг друга. Например, ${\displaystyle A^{2}}$  состоит из пар ${\displaystyle \left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle }$  и отождествляется с начальным отрезком в ${\displaystyle A^{3}}$ , состоящим из троек ${\displaystyle \left\langle a_{1},a_{2},0\right\rangle }$ . (Здесь 0 — наименьший элемент в ${\displaystyle A}$ .) Теперь видно, что все множества ${\displaystyle A^{b}}$  можно рассматривать как начальные отрезки множества ${\displaystyle A^{\infty }}$ , состоящего из бесконечных последовательностей ${\displaystyle a_{0},a_{1},...}$  , элементы которых принадлежат ${\displaystyle A}$  и в которых лишь конечное число членов отлично от нуля. (Последнее требование делает корректным определение обратного лексикографического порядка — мы находим самую правую позицию, в которой последовательности различаются, и сравниваем их значения в этой позиции.) В объединении эти начальные отрезки дают всё ${\displaystyle A^{\infty }}$ , так что это множество с описанным порядком имеет тип ${\displaystyle a^{b}}$ .
• Верещагин Н. К., Шень А. В31 Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. — 5-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2017. — 112 c. ISBN 978-5-4439-0943-1
• https://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-5ed.pdf

Для возведения чисел в натуральную степень в позиционной системе обозначения чисел необходимо умножить основание ${\displaystyle a}$  на себя ${\displaystyle b-1}$  раз. Если даны два натуральных числа ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  такие, что:

где: ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}}$ ;

${\displaystyle n}$  — количество цифр в числе ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}$ ;

${\displaystyle k}$  — порядковый номером разряда (позиции), ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$ ;

${\displaystyle P}$  — основание системы счисления;

${\displaystyle \{P\}}$  множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

${\displaystyle \{P_{2}\}=\{0,1\}}$ ,

${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ ,

${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}}$ ;

тогда:

Пример возведение чисел в натуральную степень в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений.

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[1] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями (где ${\displaystyle \alpha }$  - положительное):

${\displaystyle \alpha =a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},~~\alpha >0,}$ 

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$ 

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$  и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$ , то их степенью называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$ , определённое степенью последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ :

${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }{=}[a_{n}]^{[b_{n}]}=[a_{n}\land b_{n}]}$ ,

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha ^{\beta }}$ , удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \alpha ^{\beta }\leqslant {(a'')}^{b''})\Rightarrow ({(a')}^{b'}\leqslant \gamma \leqslant {(a'')}^{b''}),~~~\forall ~a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,~\forall ~\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} .}$ 

Таким образом степенью вещественного числа  ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$  является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$  которое содержится между всеми степенями вида ${\displaystyle {(a')}^{b'}}$  с одной стороны и всеми степенями вида ${\displaystyle {(a'')}^{b''}}$ с другой стороны.

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного вещественного показателя.

${\displaystyle 0^{\beta }=0;\quad \beta \in \mathbb {R} ,\beta >0.}$ 

Для отрицательных  ${\displaystyle \alpha }$  степень с вещественным показателем не рассматривается.

На практике для того, чтобы возвести число ${\displaystyle \alpha }$  в степень ${\displaystyle \beta }$ , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$ . За приближенное значение степени ${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$  берут степень указанных рациональных чисел ${\displaystyle a^{b}}$ . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$  и ${\displaystyle \beta }$ .

Пример возведения в степень ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e}}$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$ ;
• возводим в степень: ${\displaystyle \gamma =\pi ^{e}\approx 3.1416^{2.7183}\approx 22.4592}$ ;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 22.459}$ .

Полезные формулы:

${\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}$ 

${\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}$ 

${\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}$ 

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на ��лектронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции ${\displaystyle x^{y}}$ , и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Деление записывается с использованием одного из «знаков деления» — «${\displaystyle \div ,~/,~:,~-}$ » между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак деления является бинарным оператором. Знак деления не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».

• Самый старый из используемых символов видимо — косая черта (/). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.

• Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в в своём труде Acta eruditorum 1684 г.  До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.

• Йоханн Ран ввёл знак обелюс (÷) в качестве знака деления, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. Знак Рана часто называют «английским знаком деления».

В русскоязычных учебниках математики в основном используется знак в виде двоеточия (:). Косая черта (/) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства «${\displaystyle =}$ », например:

${\displaystyle a:b=c}$  ;

${\displaystyle 6:3=2}$  («шесть разделить на три равно два») ;

${\displaystyle 65:5=13}$  («шестьдесят пять разделить на пять равно тринадцать») .

В математических выражениях часто в качестве знака деления используется дробная черта. На письме знак деления очень похож на другие письменные символы. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочной идентификации символа.

Операция деления на числовых множествах ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$  имеет следующие основные свойства:

• Деление антикоммутативно — от перемены мест аргументов частное изменяется:

Антикоммутативность: ${\displaystyle a:b\neq b:a;}$ 

• Деление антиассоциативно — при последовательном выполнении деления трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:

Антиассоциативность: ${\displaystyle (a:b):c\neq a:(b:c);}$ 

• Деление дистрибутивно справа, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, так-же известно, как распределительный закон^[2] :

Дистрибутивность: ${\displaystyle (a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;}$ 

• Относительно деления в множестве ${\displaystyle A}$  существует единственный нейтральный элемент справа (число ${\displaystyle 1}$ ), деление на единицу (или нейтральный элемент) даёт число равное исходному:

Нейтральный элемент справа: ${\displaystyle x:1=x;}$ 

• Относительно деления в множестве ${\displaystyle A}$  существует единственный обратный элемент, получаемый делением единицы на число, что даёт число обратное исходному:

Обратный элемент: ${\displaystyle 1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;}$ 

• Относительно деления в множестве ${\displaystyle A}$  существует единственный нулевой элемент слева, число ${\displaystyle 0}$  делённое на любое число даёт нуль:

Нулевой элемент слева: ${\displaystyle 0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}$ 

• По правилам обычной арифметики деление на ноль ${\displaystyle 0}$  (нулевой элемент) не определено;

Деление на ноль: ${\displaystyle x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;}$ 

• Деление на противоположный элемент даёт минус единицу:

${\displaystyle x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.}$ .

Результат деления не всегда является определённым для множеств натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$  и целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , чтобы получить натуральное или целое число в результате деления, делимое должно быть кратно делителю. Невозможно в рамках этих чисел получить дробный результат. В этом случае говорится о делении с остатком. То есть деление на этих множествах есть частичная бинарная операция. .

Операция деления определённая на множествах (в полях) рациональных ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , вещественных ${\displaystyle \mathbb {R} }$  и комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$  даёт число (частное) принадлежащее этому-же множеству, следовательно множества ${\displaystyle \mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}} }$  замкнуты относительно операции деления (в точке 0 имеется разрыв второго рода — следовательно кольца рациональных, вещественных и комплексных чисел разомкнуты относительно операции деления).

В математических выражениях операция деления имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.

Деление является гипероператором вычитания и сводится к последовательному вычитанию. :

${\displaystyle a:b=\operatorname {hyper-2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.}$ 

${\displaystyle a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-b-b-\dots -b} _{c}.}$ 

где: ${\displaystyle -b-b-\dots -b}$  - последовательность операций вычитания, выполненная ${\displaystyle c}$  раз.

При практическом решении задачи деления двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: вычитание, сравнение, перенос и др. Для этого разработаны различные методы деления, например для чисел, дробей, векторов и др. В русскоязычных учебниках математики в настоящее время используется алгоритм деления столбиком. При этом следует рассматривать деление как процедуру (в отличие от операции).

Схема, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при делении больших чисел может занять продолжительное время. Данная процедура применима к делению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами^[3]. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания соответствующей данному основанию ${\displaystyle P}$  системы счисления.

Пример деления натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления:

     110010│101   │    0 — 0           50800│25    │    0 — 0           CD530│A8     │    0 — 0
     101   │1010  │ -101 — 1           50   │2032  │  -25 — 1           A8   │138E   │  -A8 — 1
       10                               08         │  -50 — 2           255          │ -150 — 2
        0                                0         │  -75 — 3           1F8          │ -1F8 — 3
       101                               80        │ -100 — 4            5D3         │ -2A0 — 4
       101                               75        │  ... — ...          540         │ -348 — 5
         00                               50                              930        │ -3F0 — 6
          0                               50                              930        │ -498 — 7
          0.                               0.                               0.       │ -540 — 8
                                                                                     │ -5E8 — 9
                                                                                     │ -690 — A
                                                                                     │ -738 — B
                                                                                     │ -7E0 — C
                                                                                     │ -888 — D
                                                                                     │ -930 — E

Воспользуемся определением натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$  как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств ${\displaystyle C,A,B,R}$  порождённых биекциями, с помощью скобок: ${\displaystyle [C],[A],[B],[R]}$ . Тогда математическая операция «деление» определяется следующими образами:

1. ${\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]}$  — деление на равные части (отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения), частным чисел ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  называется число элементов каждого подмножества разбиения;
2. ${\displaystyle \quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]}$  — деление по содержанию (отыскание числа подмножеств разбиения), частным чисел ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  называется число (количество) подмножеств разбиения;

где: ${\displaystyle A/B}$  это — разбиение конечного множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества, такие что:

${\displaystyle B_{\alpha }=B_{\beta },}$ ${\displaystyle \quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,}$  ${\displaystyle \quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},}$  для любых коэффициентов ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C}$ , таких что ${\displaystyle \alpha \not =\beta ;}$ 

${\displaystyle R}$  — остаток (множество оставшихся элементов), ${\displaystyle \{\emptyset \}\leqslant R<B}$ ,

${\displaystyle \rightarrow }$  — нульарная операция "выделение элемента".

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о делении с остатком. На остаток накладываются следующее ограничение (что-бы он был корректно, то есть однозначно, определён): ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$ , ${\displaystyle a=b\cdot c+r}$ ,

где: ${\displaystyle a}$  — делимое, ${\displaystyle b}$  — делитель, ${\displaystyle c}$  — частное, ${\displaystyle r}$  — остаток.

Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Арифметическая операция «деление» частична для множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , (для полукольца натуральных чисел).

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида:

1. «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?». В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это можно найти при помощи деления — 12 кар. : 3 шт. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - в каждой коробке по 4 карандаша.
2. «12 карандашей надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?». В задаче рассматривается множество из 12 элементов которое разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента, требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления — 12 кар. : 3 кар. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - понадобится 4 коробки.

Для деления натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется алгоритм деления столбиком.

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , получаемое добавлением отрицательных чисел ^[4] вида ${\displaystyle -n}$ . Множество целых чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$  Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру деления. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

• Если оба аргумента положительные, тогда: ${\displaystyle c=a:b;}$ 
• Если один из аргументов отрицателен, тогда результат то-же отрицателен: ${\displaystyle -c=-a:b=-(|a|:|b|),}$  либо ${\displaystyle -c=a:(-b)=-(|a|:|b|);}$ 
• Если оба аргумента отрицательны, тогда результат положителен: ${\displaystyle c=(-a):(-b)=a:b.}$ 

Здесь и далее так-же используется алгоритм деления в столбик для больших чисел и последовательным вычитанием для небольших. Например, рассмотрим выражение: ${\displaystyle -8:4=-2}$ ; так как у чисел ${\displaystyle -8}$  и ${\displaystyle 4}$  разные знаки, то выносим минус за скобки: ${\displaystyle -8:4=-(8:4)}$ , вычисляя далее получим ответ: ${\displaystyle -2}$ .

Арифметическая операция «деление» частична для множества целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  (кольцо целых чисел разомкнуто относительно операции деления)..

Множество рациональных чисел — упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде: ${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.}$ 

Для деления рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ , необходимо заменить деление умножением на обратную дробь вида: ${\displaystyle \pm {\frac {n}{m}}}$ .

Если даны два рациональных числа ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  такие, что: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\quad b={\frac {m_{b}}{n_{b}}},\quad \forall m_{a},m_{b}\in \mathbb {Z} ,\quad \forall n_{b},n_{a}\in \mathbb {N} ,\quad \forall {n_{a}},{n_{b}},{m_{b}}\neq 0}$  (дроби не сокращаемые), тогда:

Пример деления:

Арифметическая операция «деление» частична для множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  (кольцо рациональных чисел разомкнуто относительно операции деления).

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[6] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}$ 

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$ 

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$  и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$ , то их частным называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$ , определённое частным последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ :

${\displaystyle \gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]}$ ,

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha :\beta }$ , удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'':b'').}$ 

Таким образом частное двух вещественных чисел  ${\displaystyle \alpha }$  и ${\displaystyle \beta }$  является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$  которое содержится между всеми частными вида ${\displaystyle a':b'}$  с одной стороны и всеми частными вида ${\displaystyle a'':b''}$  с другой стороны^[7].

На практике для того, чтобы разделить два числа ${\displaystyle \alpha }$  и ${\displaystyle \beta }$ , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$ . За приближенное значение частного чисел ${\displaystyle \alpha :\beta }$  берут частное указанных рациональных чисел ${\displaystyle a:b}$ . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$  и ${\displaystyle \beta }$ . Деление производится по алгоритму деления столбиком.

Абсолютная погрешность частного приближённых чисел: ${\displaystyle \Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}}}}$ , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последней единицы разряда этого числа.

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей аргументов: ${\displaystyle \delta \left({\frac {a}{b}}\right)=\delta a+\delta b}$ . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример деления ${\displaystyle \gamma =\pi :e}$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$ ;
• Делим столбиком: ${\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557}$ ;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 1.156}$ .

На множестве вещественных чисел область значений функции деления графически имеет вид сложной поверхности гиперболического типа.

Так как ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$ , то и для этих множеств область значений функции деления будет принадлежать этой поверхности.

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Частным двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,}$ 

где: ${\displaystyle z,z_{1},z_{2}}$  - комплексные числа, ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle i}$  — мнимая единица; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0}$ .

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряженное делителю:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di)(b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,}$ ${\displaystyle ~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;}$ 

делитель становится действительным числом, а в числителе умножаются два комплексных числа, затем полученная дробь почленно делится.

Для того, чтобы разделить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, а из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}),}$ 

где: ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=Arg(z_{n})=arctg{\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )}}$ — модуль и аргумент комплексного числа; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0}$ .

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

Деление комплексного числа ${\displaystyle z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1}}}$  в показательной форме, на комплексное число ${\displaystyle z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2}}}$  сводится к повороту вектора, соответствующего числу ${\displaystyle z_{1}}$ , на угол  ${\displaystyle Arg(z_{2})}$  и изменению его длины на ${\displaystyle |z_{2}|}$  раз. Для частного комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})};}$ 

где: ${\displaystyle e=2,718281828...}$  — число e; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0}$ .

В экспоненциальной записи числа записываются в виде ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$ , где ${\displaystyle x}$  — мантисса, ${\displaystyle P^{n}}$  — характеристика числа, ${\displaystyle P}$  — основание системы счисления, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ . Для деления двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо разделить мантиссы и характеристики: ${\displaystyle (a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac {a}{b}}\cdot P^{n-k}.}$ 

Например:

${\displaystyle (6,34\cdot 10^{4}):~(2,16\cdot 10^{-2})=(6,34:~2,16)\cdot (10^{4}:10^{-2})\approx 2,935\cdot 10^{(4-(-2))}\approx 2,94\cdot 10^{4+2}\approx 2,94\cdot 10^{6}.}$ 

Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность): для длины (L) — метр (м), для времени (T) — секунда (с), для массы (M) — грамм (г) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием^[8]. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции деления. При производстве операции деления над физическими величинами, делятся как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные (количественные) величины, которые формально являются элементами числовой оси, то есть числами, не имеющие привязки к определенным физическим явлениям (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное). При делении чисел представляющих собой физические величины на безразмерную величину, делимое число изменяется по величине и сохраняет единицу измерения. Например если взять 15 гвоздей и разложить в 3 коробки, то в результате деления получим 5 гвоздей в каждой коробке:

${\displaystyle 15~{\text{гв}}:3=5~{\text{гв}}.}$ 

Деление разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы делим. Если физически возможно создание такого частного, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин  присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее^[9].

Например, если разделить длину ${\displaystyle L=8~{\text{м}}~}$ на время ${\displaystyle T=2~{\text{с}},~}$ соответствующие одному физическому процессу, то получится именованное число (физическая величина) соответствующее этому же физическому процессу, которая называется «скорость» и измеряется в "метрах в секунду": ${\displaystyle V=4~{\text{м/с}}.}$ 

${\displaystyle V=L:T=8~{\text{м}}:2~{\text{с}}=4~~{\text{(м : с)}}=4~{\text{м/с}}.}$ 

При описании математическими средствами физических процессов немаловажную роль играет понятие однородности, которое означает например, что «1 кг муки» и «1 кг меди» принадлежат разным множествам {мука} и {медь} соответственно и не могут быть непосредственно разделены. Также понятие однородности предполагает, что делимые величины принадлежат одному физическому процессу. Недопустимо делить, например скорость лошади на время собаки.

В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым (${\displaystyle x^{-1}*x=e}$ ), так и правым (${\displaystyle x*x^{-1}=e}$ ). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:

${\displaystyle B^{-1}\cdot A\neq A\cdot B^{-1}}$ .

Отношение тензоров в общем случае не определено.

Деление многочленов в общих чертах повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

${\displaystyle 5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3}+3x^{2}+3x+4)\right|_{x=8}}$ .

Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

По определению числовых множеств ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$  деление на число 0 не определено. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного^[10]. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным бесконечности» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов). С геометрической точки зрения выполняется аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжимается” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины ${\displaystyle +\infty ,-\infty }$ . С точки зрения общей топологии выполняется двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:

 

${\displaystyle a:0=\pm \infty }$ , где ${\displaystyle a\neq 0.}$ 

Если произвести проективное расширение множества вещественных чисел введением идеализированной точки ${\displaystyle \infty ~}$ ,которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения общей топологии будет выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом ${\displaystyle \perp =0/0}$ , в результате получится ${\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \}}$ , на данной основе строится алгебраическая структура ${\displaystyle {\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}$ называемая «Колесом^[англ.]» (Wheel)^[11]. Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

Существуют и другие алгебраические системы с делением на ноль. Например, «общие луга» (common meadows)^[12]. Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.

• И.М. Виноградов. Математическая энциклопедия в 5 томах. — Москва: Советская энциклопедия, 1977. — 2921 с.
• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (неопр.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Системы счисления. — Вологда: ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум», 2006. — С. 3. — 16 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (неопр.). — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (неопр.). — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. (неопр.). — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (неопр.). — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• В.И. Игошин. КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования. (неопр.). — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.
• Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 августа 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 15 января 2003 г. — § 97.

• В.И. Игошин. КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.

• Сумма
• Сложение
• Умножение
• Деление

Категория:Элементарная математика Категория:Арифметика Категория:Арифметические действия Категория:Математические операции

Колесо — это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо. Колесо строится проективным расширением поля, например множества вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$  с операциями ${\displaystyle ''+,\cdot ''}$ , посредством введения идеализированной точки ${\displaystyle \infty ~}$ (бесконечность без знака), которая соединяет оба конца вещественной прямой. С точки зрения общей топологии выполняется одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополняя полученное множество чисел новым элементом ${\displaystyle \perp =0/0}$  получим: ${\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \}}$ . Определение обычной операции деления основано на умножении, здесь это не подходит. Необходимо отвязать операции друг от друга, но сохранить привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком ${\displaystyle ''/''}$ : ${\displaystyle /(/x)=//x=x}$ ; ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$ . Тогда колесо вещественных чисел: ${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{\mathbb {R} }=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}$ .

Сфера Римана так же может быть расширена до колеса добавлением элемента ${\displaystyle \bot =0/0}$ . Сфера Римана — это расширение над полем комплексных чисел на элемент ${\displaystyle \infty }$ , где ${\displaystyle z/0=\infty }$  для любого сложного ${\displaystyle z\neq 0}$ , Однако, ${\displaystyle 0/0}$  все еще неопределенна в сфере Римана, но определяется его расширением к колесу: ${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{\mathbb {C} }=\langle \mathbb {C} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}$ .

Термин «колесо» вдохновлен топологической картиной ${\displaystyle \odot }$  проективной линии вместе с дополнительной точкой ${\displaystyle \bot =0/0}$ .

Колесо является алгебраической структурой ${\displaystyle {\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}$ , удовлетворяющая:

• Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, с ${\displaystyle 0}$  и ${\displaystyle 1}$  как их соответствующие тождества.
• ${\displaystyle //x=x}$ 
• ${\displaystyle /(x\cdot y)=/x\cdot /y}$ 
• ${\displaystyle x\cdot z+y\cdot z=(x+y)\cdot z+0\cdot z}$ 
• ${\displaystyle (x+yz)\cdot /y=x\cdot /y+z+0y}$ 
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$ 
• ${\displaystyle (x+0\cdot y)\cdot z=x\cdot z+0\cdot y}$ 
• ${\displaystyle /(x+0\cdot y)=/x+0\cdot y}$ 
• ${\displaystyle \perp +x=\perp }$ 

В колесе обычное деление заменяется на двоичный оператор с умножением на унарный ${\displaystyle /x}$ , причем унарный оператор применяемый к одному из аргументов ${\displaystyle /x}$  аналогичен (но не идентичен) мультипликативному обратному ${\displaystyle x^{-1}}$ , так что ${\displaystyle a:b}$  становится сокращением для ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ , и модифицирует правила алгебры так, что:

• ${\displaystyle 0\cdot x\neq 0}$  в общем случае
• ${\displaystyle x-x\neq 0}$  в общем случае
• ${\displaystyle x\cdot /x\neq 1}$  в общем случае, поскольку ${\displaystyle /x}$  это не то же самое , как мультипликативный обратный элемент по ${\displaystyle x}$ .

Операции в колесе выглядят следующим образом:

Если есть элемент ${\displaystyle a}$  для которого ${\displaystyle 1+a=0}$ , то мы можем определить противоположный элемент (отрицание): ${\displaystyle -x=a\cdot x}$ , а также: ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ .

Другие тождества, которые могут быть получены:

• ${\displaystyle 0\cdot x+0\cdot y=0\cdot x\cdot y}$ 
• ${\displaystyle x-x=0\cdot x^{2}}$ 
• ${\displaystyle x\cdot /x=1+0\cdot x\cdot /x}$ 

И для ${\displaystyle x}$  с ${\displaystyle 0\cdot x=0}$  и ${\displaystyle 0\cdot /x=0}$ , мы получаем обычное:

• ${\displaystyle x-x=0}$ 
• ${\displaystyle x\cdot /x=1}$ 

Если отрицание можно определить так, как указано выше, то подмножество ${\displaystyle \{x\mid 0\cdot x=0\}}$  является коммутативным кольцом , и каждое коммутативное кольцо является таким подмножеством колеса. Если ${\displaystyle x}$  является обратимым элементом коммутативного кольца, то: ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ . Таким образом, ${\displaystyle x^{-1}}$  всегда имеет смысл, он равен ${\displaystyle /x}$ , и это всегда определено, даже если ${\displaystyle x=0}$ .

Пусть ${\displaystyle A}$  коммутативное кольцо, и пусть ${\displaystyle S}$  мультипликативный подмоноид из ${\displaystyle A}$ . Определить соотношение конгруэнтности ${\displaystyle \sim _{S}}$  на ${\displaystyle A\times A}$  с помощью

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$  означает, что существуют ${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$  такие, что ${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$ .

Определяя колесо дробей ${\displaystyle A}$  в отношении ${\displaystyle S}$  как фактор ${\displaystyle A\times A~/\sim _{S}}$  (и обозначая класс эквивалентности, содержащий ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$  в виде ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ ) с операциями:

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$  (аддитивное тождество);

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$  (мультипликативное тождество);

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$  (обратная операция);

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$  (операция сложения);

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$  (операция умножения).