Регрессия (математика)

Этот термин в статистике впервые был использован Френсисом Гальтоном (1886) в связи с исследованием вопросов наследования физических характеристик человека. В качестве одной из характеристик был взят рост человека; при этом было обнаружено, что в целом сыновья высоких отцов, что не удивительно, оказались более высокими, чем сыновья отцов с низким ростом. Более интересным было то, что разброс в росте сыновей был меньшим, чем разброс в росте отцов. Так проявлялась тенденция возвращения роста сыновей к среднему (regression to mediocrity), то есть «регресс». Этот факт был продемонстрирован вычислением среднего роста сыновей отцов, рост которых равен 56 дюймам, вычислением среднего роста сыновей отцов, рост которых равен 58 дюймам, и т. д. После этого результаты были изображены на плоскости, по оси ординат которой откладывались значения среднего роста сыновей, а по оси абсцисс — значения среднего роста отцов. Точки (приближённо) легли на прямую с положительным углом наклона меньше 45°; важно, что регрессия была линейной.

Допустим, имеется выборка из двумерного распределения пары случайных переменных (X, Y). Прямая линия в плоскости (x, y) была выборочным аналогом функции

${\displaystyle g(x)=E(Y\mid X=x).}$ 

В теории вероятностей под термином «регрессия» и понимают эту функцию, которая есть ни что иное как условное математическое ожидание случайной переменной Y при условии, что другая случайная переменная X приняла значение x. Если, например, пара (X, Y) имеет двумерное нормальное распределение с E(X)=μ₁, E(Y)=μ₂, var(X)=σ₁², var(Y)=σ₂², cor(X, Y)=ρ, то можно показать, что условное распределение Y при X=x также будет нормальным с математическим ожиданием, равным

${\displaystyle E(Y\mid X=x)=\mu _{2}+\varrho {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}(x-\mu _{1}),}$ 

и дисперсией

${\displaystyle \mathrm {var} (Y\mid X=x)=\sigma _{2}^{2}(1-\varrho ^{2}).}$ 

В этом примере регрессия Y на X является линейной функцией. Если регрессия Y на X отлична от линейной, то приведённые уравнения — это линейная аппроксимация истинного уравнения регрессии.

В общем случае регрессия одной случайной переменной на другую не обязательно будет линейной. Также не обязательно ограничиваться парой случайных переменных. Статистические проблемы регрессии связаны с определением общего вида уравнения регрессии, построением оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии, и проверкой статистических гипотез о регрессии^[3]. Эти проблемы рассматриваются в рамках регрессионного анализа.

Простым примером регрессии Y по X является зависимость между Y и X, которая выражается соотношением: Y=u(X)+ε, где u(x)=E(Y | X=x), а случайные величины X и ε независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи y=u(x) между неслучайными величинами y и x. На практике обычно коэффициенты регрессии в уравнении y=u(x) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным.

Представим зависимость y от x в виде линейной модели первого порядка:

${\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x+\varepsilon .}$ 

Будем считать, что значения x определяются без ошибки, β₀ и β₁ — параметры модели, а ε — ошибка, распределение которой подчиняется нормальному закону с нулевым средним значением и постоянным отклонением σ². Значения параметров β заранее не известны и их нужно определить из набора экспериментальных значений (x_i, y_i), i=1, …, n. Таким образом мы можем записать:

${\displaystyle {\widehat {y_{i}}}=b_{0}+b_{1}x_{i},i=1,\dots ,n}$ 

где ${\displaystyle {\widehat {y}}}$  означает предсказанное моделью значение y при данном x, b₀ и b₁ — выборочные оценки параметров модели. Определим также ${\displaystyle e_{i}=y_{i}-{\widehat {y_{i}}}}$  — значение ошибки аппроксимации для ${\displaystyle i}$ -го наблюдения.

Для вычисления параметров модели по экспериментальным данным зачастую используют различные программы, предназначенные для статистической обработки данных. Однако для этого простого случая не сложно выписать подробные формулы^[4][5].

Метод наименьших квадратов даёт следующие формулы для вычисления параметров данной модели и их отклонений:

${\displaystyle b_{1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\frac {\mathrm {cov} (x,y)}{\sigma _{x}^{2}}};}$ 

${\displaystyle b_{0}={\bar {y}}-b_{1}{\bar {x}};}$ 

${\displaystyle s_{e}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\widehat {y}})^{2}}{n-2}};}$ 

${\displaystyle s_{b_{0}}=s_{e}{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {{\bar {x}}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}};}$ 

${\displaystyle s_{b_{1}}=s_{e}{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}},}$ 

здесь средние значения определяются как обычно: ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$ , ${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}}$  и s_e² обозначает остаточное отклонение регрессии, которое является оценкой дисперсии σ² в том случае, если модель верна.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии используются аналогично стандартной ошибке среднего — для нахождения доверительных интервалов и проверки гипотез. Используем, например, критерий Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве коэффициента регрессии нулю, то есть о его незначимости для модели. Статистика Стьюдента: ${\displaystyle t=b/s_{b}}$ . Если вероятность для полученного значения и n−2 степеней свободы достаточно мала, например, <0,05 — гипотеза отвергается. Напротив, если нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве нулю, скажем, ${\displaystyle b_{1}}$  — есть основание задуматься о существовании искомой регрессии, хотя бы в данной форме, или о сборе дополнительных наблюдений. Если же нулю равен свободный член ${\displaystyle b_{0}}$ , то прямая проходит через начало координат и оценка углового коэффициента равна

${\displaystyle b={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$ ,

а её стандартной ошибки

${\displaystyle s_{b}=s_{e}{\sqrt {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}.}$ 

Обычно истинные величины коэффициентов регрессии β₀ и β₁ не известны. Известны только их оценки b₀ и b₁. Иначе говоря, истинная прямая регрессии может пройти иначе, чем построенная по выборочным данным. Можно вычислить доверительную область для линии регрессии. При любом значении x соответствующие значения y распределены нормально. Средним является значение уравнения регрессии ${\displaystyle {\widehat {y}}}$ . Неопределённость его оценки характеризуется стандартной ошибкой регрессии:

${\displaystyle s_{\widehat {y}}=s_{e}{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}};}$ 

Теперь можно вычислить ${\displaystyle 100\cdot \left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)}$ -процентный доверительный интервал для значения уравнения регрессии в точке x:

${\displaystyle {\widehat {y}}-t_{(1-\alpha /2,n-2)}s_{\widehat {y}}<y<{\widehat {y}}+t_{(1-\alpha /2,n-2)}s_{\widehat {y}}}$ ,

где t_{(1−α/2, n−2)} — t-значение распределения Стьюдента. На рисунке показана линия регрессии, построенная по 10 точкам (сплошные точки), а также 95%-я доверительная область линии регрессии, которая ограничена пунктирными линиями. С 95%-й вероятностью можно утверждать, что истинная линия находится где-то внутри этой области. Или иначе, если мы соберём аналогичные наборы данных (обозначены кружками) и построим по ним линии регрессии (обозначены голубым цветом), то в 95 случаях из 100 эти прямые не покинут пределов доверительной области. (Для визуализации кликните по картинке) Обратите внимание, что некоторые точки оказались вне доверительной области. Это совершенно естественно, поскольку речь идёт о доверительной области линии регрессии, а не самих значений. Разброс значений складывается из разброса значений вокруг линии регрессии и неопределённости положения самой этой линии, а именно:

${\displaystyle s_{Y}=s_{e}{\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}};}$ 

Здесь m — кратность измерения y при данном x. И ${\displaystyle 100\cdot \left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)}$ -процентный доверительный интервал (интервал прогноза) для среднего из m значений y будет:

${\displaystyle {\widehat {y}}-t_{(1-\alpha /2,n-2)}s_{Y}<y<{\widehat {y}}+t_{(1-\alpha /2,n-2)}s_{Y}}$ .

На рисунке эта 95%-я доверительная область при m=1 ограничена сплошными линиями. В эту область попадает 95 % всех возможных значений величины y в исследованном диапазоне значений x.

Можно строго доказать, что, если условное матожидание ${\displaystyle E(Y\mid X=x)}$  некоторой двумерной случайной величины (X, Y) является линейной функцией от ${\displaystyle x}$ , то это условное матожидание обязательно представимо в виде ${\displaystyle E(Y\mid X=x)=\mu _{2}+\varrho {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}(x-\mu _{1})}$ , где E(X)=μ₁, E(Y)=μ₂, var(X)=σ₁², var(Y)=σ₂², cor(X, Y)=ρ.

Более того, для уже упомянутой ранее линейной модели ${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}X+\varepsilon }$  , где ${\displaystyle X}$  и ${\displaystyle \varepsilon }$  — независимые случайные величины, а ${\displaystyle \varepsilon }$  имеет нулевое матожидание (и произвольное распределение), можно доказать, что ${\displaystyle E(Y\mid X=x)=\beta _{0}+\beta _{1}x}$ . Тогда с помощью указанного ранее равенства можно получить формулы для ${\displaystyle \beta _{0}}$  и ${\displaystyle \beta _{1}}$ : ${\displaystyle \beta _{1}=\varrho {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}}$ ,

${\displaystyle \beta _{0}=\mu _{2}-\beta _{1}\mu _{1}}$ .

Если откуда-то априори известно, что множество случайных точек на плоскости порождается линейной моделью, но с неизвестными коэффициентами ${\displaystyle \beta _{0}}$  и ${\displaystyle \beta _{1}}$ , можно получить точечные оценки этих коэффициентов по указанным формулам. Для этого в эти формулы вместо матожиданий, дисперсий и корреляции случайных величин X и Y нужно подставить их несмещенные оценки. Полученные формулы оценок в точности совпадут с формулами, выведенными на основе метода наименьших квадратов.

• Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. Руководство для экономистов. — М.: Финансы и статистика, 1983. — 304 с. — (Библиотечка иностранных книг для экономистов и статистиков).

• Francis Galton. "Regression Towards Mediocrity in Hereditary Stature, " Journal of the Anthropological Institute, 15:246-263 (1886). (англ.)