Пфаффово уравнение

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида ${\displaystyle \omega _{1}=0,\omega _{2}=0,\ldots ,\omega _{m}=0}$ , где ${\displaystyle \omega _{i}}$  — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия ${\displaystyle M^{n}}$  размерности ${\displaystyle n}$ . В координатах пфаффова система имеет вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,dx_{1}+a_{12}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{1n}(x)\,dx_{n}&=0\\a_{21}(x)\,dx_{1}+a_{22}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{2n}(x)\,dx_{n}&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,dx_{1}+a_{m2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{mn}(x)\,dx_{n}&=0.\\\end{matrix}}\right.\qquad \qquad (*)}$ 

Рангом пфаффовой системы в точке ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  называется число ${\displaystyle r(x)}$ , равное рангу матрицы ${\displaystyle (a_{ij}(x))}$ . Обычно бывает ${\displaystyle r(x)<n}$ .

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}M^{n}}$  векторное подпространство размерности ${\displaystyle n-r(x)}$ , которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на ${\displaystyle M^{n}}$  называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при ${\displaystyle r(x)\equiv n-1}$  распределение является полем направлений на ${\displaystyle M^{n}}$ , при ${\displaystyle r(x)\equiv n-2}$  распределение является полем двумерных плоскостей, а при ${\displaystyle r(x)\equiv 1}$  распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$  одну (например, ${\displaystyle x_{n}}$ ) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на ${\displaystyle dx_{n}}$ , получаем систему ОДУ первого порядка:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}(x)\,x_{1}'+a_{12}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{1n}(x)&=0\\a_{21}(x)\,x_{1}'+a_{22}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{2n}(x)&=0\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\a_{m1}(x)\,x_{1}'+a_{m2}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{mn}(x)&=0,\\\end{matrix}}\right.\qquad \qquad (**)}$ 

где ${\displaystyle x_{i}'=dx_{i}/dx_{n}}$ .

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат ${\displaystyle (dx_{1},\ldots ,dx_{n})}$  к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию ${\displaystyle M^{n}}$ .

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n-1}$  в многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ , на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность ${\displaystyle S}$  в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к ${\displaystyle S}$  содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга ${\displaystyle m<n}$  называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия ${\displaystyle M^{n}}$  проходит интегральная поверхность ${\displaystyle S_{n-m}}$  максимально возможной размерности ${\displaystyle n-m}$ .

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга ${\displaystyle m<n}$  с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии ${\displaystyle M^{n}}$  приводится к каноническому виду

${\displaystyle dx_{1}=0,\ dx_{2}=0,\,\ldots ,\,dx_{m}=0.}$ 

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{m}\wedge d\omega _{i}=0\quad \ i=1,\ldots ,m,\qquad \qquad (***)}$ 

где ${\displaystyle d\omega _{i}}$  означает внешний дифференциал 1-формы и ${\displaystyle \wedge }$  означает внешнее произведение форм.

• Пфаффово уравнение ${\displaystyle \omega =dx_{1}+dx_{2}+dx_{3}=0}$  вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=c}$  в трёхмерном пространстве. С помощью замены ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}}$  это уравнение приводится к каноническому виду ${\displaystyle d{\tilde {x}}_{1}=0.}$  Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как ${\displaystyle d\omega =0.}$ 

• Пфаффово уравнение ${\displaystyle \omega =x_{3}\,dx_{1}+dx_{2}=0}$  не является вполне интегрируемым. В этом случае ${\displaystyle d\omega =dx_{3}\wedge dx_{1}}$  и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

${\displaystyle \omega \wedge d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\wedge (dx_{3}\wedge dx_{1})=dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\neq 0.}$ 

• Распределение (дифференциальная геометрия)
• Слоение

• Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.