Парабола

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)^[2].

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

${\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0}$  (или ${\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}$ , если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$  от обоих.

Квадратичная функция ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  при ${\displaystyle a\neq 0}$  также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${\displaystyle y=ax^{2},}$  но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\dfrac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\dfrac {\mathcal {D}}{4a}},}$  где ${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$  — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  может быть представлено в виде ${\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},}$  а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом ${\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}$ 

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$ 

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант ${\displaystyle B^{2}-4AC}$  равен нулю.

Парабола в полярной системе координат ${\displaystyle (\rho ,\vartheta )}$  с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

${\displaystyle \rho (1-\cos \vartheta )=p,}$ 

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Парабола в подерной системе координат ${\displaystyle (r,p)}$  с центром в фокусе и параметром ${\displaystyle a}$ , равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением^[4]:

${\displaystyle p^{2}=ar.}$ 

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  известны координаты трёх различных точек параболы ${\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}$  то его коэффициенты могут быть найдены так:

${\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}$ 

Если же заданы вершина ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$  и старший коэффициент ${\displaystyle a}$ , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

${\displaystyle b=-2ax_{0}}$ 

${\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}$ 

${\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$ 

${\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$ 

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия^[5].
• Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости^[6].

• Подеры параболы
•  
  Прямая — полюс подеры в фокусе параболы
•  
  Циссоида Диокла — полюс подеры на вершине параболы
•  
  Строфоида ${\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x^{2}+y(y+1))+x^{2}=0}}$  — полюс подеры в центре директрисы параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$ 
•  
  Офиурида ${\displaystyle {\scriptstyle (y+1)(x(x-2)+y(y+1))+(x-2)^{2}=0}}$  — полюс подеры не в центре директрисы параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$ 
•  
  Прямая конхоида Слюза ${\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x^{2}+y(y-4))+x^{2}=0}}$  — полюс подеры внутри на оси не в фокусе параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$ 
•  
  Конхоида Слюза ${\displaystyle {\scriptstyle (y-4)(x(x-2)+y(y-4))+(x-2)^{2}=0}}$  — полюс подеры внутри не на оси параболы ${\displaystyle {\scriptstyle x^{2}=4y}}$ 

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде^[6]:

${\displaystyle y^{2}=4px,}$  или ${\displaystyle x^{2}=4py,}$ 

где ${\displaystyle p}$  — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы ${\displaystyle y^{2}=4px}$  относительно произвольного полюса ${\displaystyle (a,\;b)}$  есть дефективная гипербола с двойной точкой ${\displaystyle (a,\;b)}$ , асимптотой ${\displaystyle a-p}$  и следующим уравнением^[7][6]:

${\displaystyle (x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.}$ 

Другими словами, имеет место следующее утверждение^[7]:

подера параболы — это рациональная циркулярная кривая 3-го порядка.

Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями^[6][7]:

• полюс подеры находится на параболе. Тогда полюс — точка возврата подеры;

• если полюс лежит на касательной к вершине параболы, то подера — офиурида^[8];

• если полюс совпадает с вершиной параболы, то подера — циссоида;

• полюс подеры находится во внешности параболы. Тогда полюс — узловая точка подеры;

• в частности, если полюс находится на директрисе параболы, то подера — строфоида;

• полюс подеры находится внутри параболы. Тогда полюс — мнимая изолированная точка подеры;

• если полюс лежит на оси симметрии параболы, но не совпадает с фокусом параболы, то подера — конхоида Слюза^[9];
• если полюс совпадает с фокусом параболы, то подера состоит из трёх прямых на комплексной проективной плоскости:

• действительной прямой, которая касается параболы в её вершине;
• две мнимые прямые, которые пересекаются в фокусе параболы.

Графики степенной функции ${\displaystyle y=x^{n}}$  при натуральном показателе ${\displaystyle n>1}$  называются параболами порядка ${\displaystyle n}$ ^[10][11]. Ранее рассмотренное определение соответствует ${\displaystyle n=2,}$  то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}$ ;

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

•  
  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
•  
  Падение баскетбольного мяча
•  
  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
•  
  Параболические траектории струй воды
•  
  Вращающийся сосуд с жидкостью
•  
  Парабола — антиподера прямой

• Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
• Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе