Метод Крылова — Боголюбова

Рассмотрим динамическую систему с малой нелинейностью^[1]:

${\displaystyle {\ddot {x}}=Gx+\mu F(x,\mu ,t)}$  (1)

Здесь ${\displaystyle x}$  - вектор состояния системы с ${\displaystyle 2n}$  компонентами, ${\displaystyle G}$  - постоянная квадратная матрица, ${\displaystyle \mu }$  - малый параметр, ${\displaystyle F}$  - нелинейная вектор-функция от вектора состояния ${\displaystyle x}$ , малого параметра ${\displaystyle \mu }$  и времени ${\displaystyle t}$ .

При ${\displaystyle \mu =0}$  система превращается в линейную. Одно из её периодических решений можно записать в виде:

${\displaystyle x_{0}=AVe^{i(\omega t+\theta )}}$  (2)

Здесь ${\displaystyle A}$  - произвольная постоянная, ${\displaystyle V}$  - собственный вектор матрицы ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle \omega }$  - одна из некратных собственных частот системы, ${\displaystyle \theta }$  - произвольная постоянная.

Решение системы (1) при ${\displaystyle \mu \neq 0}$  ищем в виде ряда по степеням малого параметра ${\displaystyle \mu }$ :

${\displaystyle x=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{k}u_{k}(A,\psi ,\mu t)}$  (3)

Здесь ${\displaystyle \psi =\omega t+\theta ,u1,u2,...}$  - неизвестные вектор-функции ${\displaystyle A,\psi }$  и ${\displaystyle \mu t}$ . ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle \theta }$  - медленно меняющаяся амплитуда и фаза, удовлетворяющие уравнениям:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\mu f_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}f_{2}(A,\theta ,\mu t)+...}$  (4)

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\mu h_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}h_{2}(A,\theta ,\mu t)+...}$  (5)

Вычислим производную ${\displaystyle {\dot {x}}}$  в виде ряда от ${\displaystyle \mu }$ , исходя из выражений (3, 4, 5):

${\displaystyle {\dot {x}}=i\omega AVe^{i\psi }+\mu \left[f_{1}Ve^{i\psi }+iAh_{1}Ve^{i\psi }+\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}\right]+\mu ^{2}\left[f_{2}Ve^{i\psi }+iAh_{2}Ve^{i\psi }+{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)}}+f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}\right]+...}$  (6)

Нелинейную часть уравнения (1) также представим в виде ряда по малому параметру:

${\displaystyle \mu F(x,\mu ,t)=\mu F_{1}+\mu ^{2}F_{2}+...}$  (7)

где ${\displaystyle F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial x}}u_{1}+{\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial \mu }},...}$ 

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1) члены с одинаковыми степенями малого параметра ${\displaystyle \mu }$ , получаем систему уравнений для определения неизвестных функций ${\displaystyle u_{j}}$  из уравнения (3):

${\displaystyle \omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{i\psi }-iAh_{1}Ve^{i\psi }+F_{1}}$  (8)

${\displaystyle \omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{i\psi }-iAh_{2}Ve^{i\psi }-{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)}}-f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}-h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+F_{2}}$  (9)

${\displaystyle ...}$ 

Разложим вектор-функции ${\displaystyle u_{j},F_{j}}$  в ряды Фурье с медленно меняющимися коэффициентами:

${\displaystyle u_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }U_{j}^{(m)}(A,\theta ,\mu t)e^{im\psi }}$  (10)

${\displaystyle F_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }F_{j}^{(m)}(A,\theta ,\mu t)e^{im\psi }}$  (11)

Далее подставим (10), (11) в (8), (9) и приравняв коэффициенты при каждой гармонике в обеих частях уравнения, получим систему неоднородных уравнений относительно ${\displaystyle U_{j}^{(m)}}$ .

Для получения уравнений первого приближения из (8), (10), (11) составим уравнение для определения вектор-функции ${\displaystyle U_{1}^{(m)}}$ 

${\displaystyle (G+im\omega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})\delta _{m1}V+F_{1}^{(m)}}$  (12)

Условие совместности системы (12) при ${\displaystyle m=1}$  имеет вид:

${\displaystyle -f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0}$  (13)

Разделяя в (13) действительную и мнимую части, находим:

${\displaystyle f_{1}(A,\theta ,\mu t)=Re\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]}$  (14)

${\displaystyle h_{1}(A,\theta ,\mu t)={\frac {1}{A}}Im\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]}$  (15)

Во втором приближении сначала найдем из системы уравнений (12) векторы ${\displaystyle U_{1}^{(m)}}$ . Учитывая, что при ${\displaystyle m=1}$  вектор ${\displaystyle U_{1}^{(1)}}$  определяется с точностью до произвольной постоянной, его можно представить в виде:

${\displaystyle U_{1}^{(1)}=AV^{(1)}}$  (16)

Затем подставим в систему уравнений (9) ряды (10), (11). С учетом (16) получим:

${\displaystyle (G+im\omega E)U_{2}^{(m)}=-\left[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1}+iAh_{1})V^{(1)}+A\left({\frac {\partial V^{(1)}}{\partial (\mu t)}}+f_{1}{\frac {\partial V^{(1)}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial V^{(1)}}{\partial \theta }}\right)\right]\delta _{m1}-\left[{\frac {\partial U_{1}^{(m)}}{\partial (\mu t)}}+f_{1}{\frac {\partial U_{1}^{(m)}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial U_{1}^{(m)}}{\partial \theta }}+imh_{1}U_{1}^{(m)}\right](1-\delta _{m1})+F_{}^{}}$  (17)

Из условия совместности системы уравнений (17) при ${\displaystyle m=1}$  можно определить ${\displaystyle f_{2}}$  и ${\displaystyle h_{2}}$ . Аналогично находятся члены третьего и более высоких приближений. В итоге получаем выражение для вектора состояния системы x

${\displaystyle x=A\left[V+\mu V^{(1)}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}V^{(2)}(A,\theta ,\mu t)+...\right]e^{i\psi }+...}$  (18)

Здесь амплитуда ${\displaystyle A}$  и фаза ${\displaystyle \theta }$  удовлетворяют уравнениям (4), (5).

• Метод малого параметра

• Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э.,. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981.
• Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.,. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1963.
• Гуляев В. И., Баженов В. А., Попов С. Л.,. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. — М.: Высшая школа, 1989. — 383 с. — ISBN 5-06-000091-5.