Куст событий

Куст событий (англ. event bush) — вероятностная модель, представляющая собой множество событий и связей между ними. К примеру, куст событий может быть использован для того, чтобы вычислить вероятности неисправностей узлов аппаратуры по наличию или отсутствию ряда признаков основываясь на априори известных зависимостях между неисправностями и их проявлениями.

Формально говоря, куст событий представляет собой ациклический мультиграф ${\displaystyle G=\langle V,E,S,p,m\rangle }$, где:

• ${\displaystyle V}$ — произвольное непустое множество, называемое множеством событий;
• ${\displaystyle E}$ — семейство подмножеств множества ${\displaystyle V\times V}$, называемое семейством дуг куста событий;
• ${\displaystyle S}$ — произвольное непустое множество, называемое множеством меток куста событий;
• ${\displaystyle p}$ — функция ${\displaystyle p:V\rightarrow \Re }$, называемая функцией распределения вероятностей куста событий;
• ${\displaystyle m}$ — функция ${\displaystyle M:E\rightarrow S}$, называемая функцией маркировки дуг куста событий.

Обозначим через ${\displaystyle left:E\rightarrow 2^{V}}$ функцию, отображающую множество дуг куста событий во множество событий, являющихся для этих дуг «левыми концами», то есть множества вида ${\displaystyle \{v_{1}\in V|\exists v_{2}\in V:(v_{1},v_{2})\in e\}}$. Аналогично определим ${\displaystyle right(e)}$.

На практике распространение получили так называемые классические кусты событий, которые выражают сложные связи между событиями посредством конъюнкции и дизъюнкции. С помощью дизъюнкции реализуются высказывания вида «из ${\displaystyle x}$ следует либо ${\displaystyle j_{1}}$, либо ${\displaystyle j_{2}}$, либо ${\displaystyle \ldots }$, либо ${\displaystyle j_{k}}$», а с помощью конъюнкции — высказывания вида «если одновременно верно ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, то верно ${\displaystyle a}$; в противном случае — верно ${\displaystyle b}$». Множество меток таких кустов состоит из двух элементов: ${\displaystyle S^{*}=\{\vee ,\wedge \}}$. Функция маркировки ставит в соответствие метку ${\displaystyle s\in S}$ по следующему правилу:

Дугу куста событий ${\displaystyle e\in E}$ будем называть дугой ИЛИ-типа, если ${\displaystyle M^{*}(e)=\vee }$, и дугой И-типа, если ${\displaystyle m^{*}(e)=\wedge }$. Для дуг ИЛИ-типа выполнено свойство

а для дуг И-типа — следующие два свойства: ${\displaystyle p(a)=p(x)\cdot p(y),p(b)=p(x)\cdot (1-p(y)).}$

Классические кусты легко рисовать: события изображаются прямоугольниками с текстом, поясняющим смысл этого события. Зависимости между событиями (то есть дуги) изображаются стрелочками двух типов: с точкой (ИЛИ-типа) и с правым поворотом (И-типа).

Байесовский вывод на кусте событий осуществляется с помощью сведения к задаче вывода в байесовской сети доверия.

Оказывается, что кусты событий довольно удобны в приложениях: сравнительно легко рисуются и выглядят менее избыточными, чем более обобщенные конструкции (к примеру, байесовские сети доверия).

Кусты событий применяются, в основном, при оценке рисков в науках о Земле. К примеру, в вулканологии.