Кубооктаэдр

Кубооктаэдр с длиной ребра ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (0;\;\pm 1;\;\pm 1).}$ 

Начало координат ${\displaystyle (0;\;0;\;0)}$  будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Если кубооктаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9{,}4641016a^{2},}$ 

${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 2{,}3570226a^{3}.}$ 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R=a=1{,}0000000a,}$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a.}$ 

Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром ${\displaystyle a}$  (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{4}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a.}$ 

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{4}}$  и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a.}$ 

Кубооктаэдр образует звёздчатые формы:

•  
  Исходный многогранник
•  
  Первая звёздчатая форма
•  
  Вторая звёздчатая форма
•  
  Третья звёздчатая форма
•  
  Четвёртая звёздчатая форма

Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:

•  
  Кубооктаэдры и октаэдры
•  
  Ромбокубоктаэдры, кубооктаэдры и кубы
•  
  Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
•  
  Растянутые ромбододекаэдры, кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы

Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани^[4]. Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous^[5].

•  
  Кристалл синтетического алмаза под электронным микроскопом
•  
  Вариант кубика Рубика
•  

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

• Weisstein, Eric W. Кубооктаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.