Индикатор (математика)

Пусть ${\displaystyle A\subseteq X}$  — выбранное подмножество произвольного множества ${\displaystyle X}$ . Функция ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}}$ , определённая следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.}$ 

называется индикатором множества ${\displaystyle A}$ .

Альтернативными обозначениями индикатора множества ${\displaystyle A}$  являются: ${\displaystyle \chi _{A}}$  или ${\displaystyle \mathbf {I} _{A}}$ , а иногда даже ${\displaystyle A(x)}$  а также скобка Айверсона ${\displaystyle [x\in A]}$ .

(Греческая буква ${\displaystyle \chi }$  происходит от начальной буквы гр��ческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$  может означать функцию идентичности.

Отображение, которое связывает подмножество ${\displaystyle A\subseteq X}$  с его индикатором ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$  инъективно. Если ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$  — два подмножества ${\displaystyle X\ }$ , то

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}$ 

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}$ 

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\triangle B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2(\mathbf {1} _{A\cap B}),}$ 

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{c}}=1-\mathbf {1} _{A}.}$ 

Более обобщённо, предположим ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$  — это набор подмножеств ${\displaystyle X}$ . Ясно, что для любого ${\displaystyle x\in X}$ 

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$ 

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех ${\displaystyle x\in X}$ , которые не принадлежат ни одному множеству ${\displaystyle A_{k}}$  и 0 иначе. Поэтому

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$ 

Разворачивая левую часть, получаем

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}},}$ 

где ${\displaystyle |F|}$  — мощность ${\displaystyle F}$ . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если ${\displaystyle X}$  — вероятностное пространство с вероятностной мерой ${\displaystyle \mathbf {P} }$ , а ${\displaystyle A}$  — измеримое множество, то индикатор ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$  становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности ${\displaystyle A:}$ 

${\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int \limits _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbf {P} =\int \limits _{A}d\mathbf {P} =\mathbf {P} (A).\quad }$ 

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

• Простая функция
• Функция принадлежности