Вектор (алгебра)

Ве́ктор — это элемент векторного пространства. С точки зрения математики представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при смене системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой сущность, не зависящую от выбора системы координат. Точнее, вектор является разновидностью тензора, а именно, вектор — это тензор первого ранга.

Два вектора называются равными, если они:

1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены

Различают понятие свободного и связанного вектора.

• Связанный вектор — представитель соответствующего класса.
• Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков.

В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми как коэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.

Вектор в N-мерном евклидовом пространстве имеет координаты ${\displaystyle {\overline {a}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ . Тогда норма вектора (или его длина) будет равна: ${\displaystyle |{\overline {a}}|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$ 

Пусть есть два вектора ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ . Построим равные им векторы ${\displaystyle {\overline {AB}}}$  и ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ . Вектор ${\displaystyle {\overline {AC}}}$  называют суммой векторов и обозначают${\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$ . Для операции сложения векторов выполняется свойство дистрибутивности.

Пусть дан вектор ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и действительное число ${\displaystyle \alpha }$ . Произведением ${\displaystyle \alpha {\overline {a}}}$  называют такой вектор ${\displaystyle {\overline {b}}}$ , что

• ${\displaystyle |{\overline {b}}|=\alpha \;|{\overline {a}}|}$ ;
• ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$  сонаправлены, если ${\displaystyle \alpha >0}$  и противоположно направлены, если ${\displaystyle \alpha <0}$  (при этом они коллинеарны).

Скалярным произведением ${\displaystyle ({\overline {a}},{\overline {b}})}$  векторов ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$  называют число ${\displaystyle |a||b|\cos \varphi }$ , где ${\displaystyle \varphi }$  — угол между векторами ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ . Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой ${\displaystyle ({\overline {a}},{\overline {b}})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}}$ .

Векторным произведением ${\displaystyle [{\overline {a}}{\overline {b}}]}$  векторов ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$  называют вектор, имеющий длину ${\displaystyle |a||b|\sin \varphi }$ , где ${\displaystyle \varphi }$  — угол между векторами ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$ , перпендикулярный векторам ${\displaystyle {\overline {a}}}$  и ${\displaystyle {\overline {b}}}$  и образующий с ними правую тройку векторов.

Вектор — упорядоченное множество (последовательность, одномерный массив, кортеж, перечень, список) однородных элементов. Это наиболее общее определение, именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). В математике вектор из n элементов можно символически обозначить несколькими способами:

${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {a}}=\langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\rangle =\left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\,\right)}$ .

Готические (Fraktur) буквы ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$  часто заменяются надчёркнутыми латинскими ${\displaystyle {\bar {a}}}$ , а вектора физических величин сопровождаются стрелочкой ${\displaystyle {\vec {a}}}$ .

Длина (модуль) вектора ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$  — скаляр и обозначается ${\displaystyle |{\mathfrak {a}}|}$ .

Число элементов вектора — счётное, может быть конечным или бесконечным. Элементы можно получить с помощью дискретной спектральной функции f(ω), где аргумент ω из натурального множества ℕ перечисляет измерения, а функция возвращает значение координаты в этом измерении. Сами вектора, оставаясь одномерными массивами, часто используются для кодирования координат точек, состояний в многомерных пространствах, системах. Данная функциональная трактовка также позволяет обобщить вектор до объекта из непрерывномерного пространства.

Например, скалярное произведение векторов является частным случаем скалярного умножения функций

${\displaystyle {\mathfrak {ab}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,b_{i}}$ 

${\displaystyle (f(x)g(x))=\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}$ 

• Векторный анализ
• Двумерный вектор
• Трёхмерный вектор
• Нулевой вектор
• Единичный вектор
• Многомерный вектор
• Скалярное произведение
• Векторное произведение