Transformação de Möbius

Em geometria, uma transformação de Möbius é uma função da forma:

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

de uma variável complexa z, e onde os coeficientes a, b, c, d são números complexos que verificam que ad − bc ≠ 0.

Geometricamente uma transformação de Möbius pode ser descrita aplicando a projeção estereográfica inversa do plano para a esfera unitária, movendo e girando a esfera para uma nova posição e orientação no espaço e, em seguida, aplicando uma projeção estereográfica para mapear da esfera de volta para o plano.

Tais transformações são conformes e portanto preservam ângulos. Também, transformam linhas em circunferências e vice-versa.

Transformações de Möbius Simples e Composições

Uma transformação de Möbius pode ser descrita como a composição de uma sequência de funções simples. As seguintes transformações também são transformações de Möbius:

$f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ é uma translação.
$f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ é uma combinação de uma homotetia (escalonamento uniforme) e uma rotação. Se $|a|=1$ , então é uma rotação; se $a\in \mathbb {R}$ , então é uma homotetia.
$f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ é uma inversão e uma reflexão em relação ao eixo real.

Composição de Transformações Simples

Se $c\neq 0$ , definimos:

$f_{1}(z)=z+d/c\quad$ (translação por d/c)
$f_{2}(z)=1/z\quad$ (inversão e reflexão em relação ao eixo real)
$f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad$ (homotetia e rotação)
$f_{4}(z)=z+a/c\quad$ (translação por a/c)

Então, essas funções podem ser compostas, mostrando que, se $f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$ temos $f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.$ Em outras palavras, podemos reescrever como ${\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}}$ ^[1]onde $e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.$ Essa decomposição torna muitas propriedades da transformação de Möbius evidentes.