Homeomorfismo

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Um homeomorfismo é a noção principal de congruência em topologia,^[1] sendo o isomorfismo de espaços topológicos.^[2] A palavra homeomorfismo vem da união de duas palavras gregas: homoios (igual) e morphe (forma), ou seja "mesma forma"; o termo foi introduzido pelo matemático Henri Poincaré, em 1895.^[3]

Dois espaços topológicos dizem-se homeomorfos se existir uma aplicação entre esses espaços que seja contínua, invertível e que a sua inversa seja contínua. Essa aplicação é chamada de homeomorfismo.^[1]

Na linguagem da teoria das categorias, um morfismo entre espaços topológicos é uma função contínua entre eles.^[2]

Um isomorfismo, chamado de homeomorfismo, portanto, é um morfismo que tem um morfismo inverso.^[2]

Um isomorfismo entre espaços topológicos é também conhecido como homeomorfismo bijetor, que a função bijetora que preserva a estrutura topológica envolvida.

Exemplos de espaços homeomorfos:

• No plano (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), um quadrado e uma circunferência são homeomorfos;
• Quaisquer duas curvas simples no espaço são homeomorfas;
• Uma caneca e uma rosquinha são homeomorfos;
• O domínio de uma função contínua e o seu gráfico — conjunto dos pontos ${\displaystyle (x,f(x))}$ — são homeomorfos, sendo o domínio um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e o contradomínio o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$^[4]
• Uma bola no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e uma bola no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ só são homeomorfas se ${\displaystyle n=m}$.^[5]

Exemplos de homeomorfismos:

• Translações e homotetias de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ^[1]

Exemplos de aplicações não-homeomorfas:

• Não basta que a função seja contínua e invertível: a função ${\displaystyle f:[0,2\ \pi )\rightarrow S^{1}\,}$ definida por ${\displaystyle f(x)=(\sin x,\cos x)\,}$ não é um homeomorfismo.

• A aplicação composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.^[1]

• Sejam X compacto e Y Hausdorff. Dada uma função bijetiva e contínua ${\displaystyle f:X\mapsto Y}$, temos que ${\displaystyle f}$ é um homeomorfismo.

• Difeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Conjectura de Poincaré

Referências

• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .
• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise. Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: [s.n.] 

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