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Desigualdade de Hölder

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Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços Lp. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Desigualdade para somatórios finitos

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Sejam conjugados de Lebesgue, ou seja:

Sejam e seqüências se números reais ou complexos Então:

Desigualdade para séries

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Sejam conjugados de Lebesgue, ou seja:

E ainda, e (veja espaço lp), vale:


Desigualdade para integrais

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Sejam conjugados de Lebesgue, ou seja:

Sejam e funções , e , então:

Observe que a desigualdade implica

Demonstração

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A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

Então estimemos pela desigualdade triangular:

Basta mostrar que:

Agora, usamos a desigualdade de Young:

Da definição de e , temos:

E finalmente:


Na linguagem dos espaços lp, a desigualdade toma a forma:

Nos espaços Lp, tem a forma:


Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) ou .