Twierdzenie o istnieniu globalnych rozwiązań równań różniczkowych

Twierdzenie o istnieniu globalnych rozwiązań równań różniczkowych^[1], twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego^[2] – twierdzenie dotyczące zagadnienia przedłużalności rozwiązań równań różniczkowych. Z przedłużalnością rozwiązań tych równań związane jest zagadnienie globalnego istnienia ich rozwiązania^[3]. Rozwiązania nieprzedłużalne nazywane są rozwiązaniami wysyconymi^[4]. Można wykazać, że każde rozwiązanie równania różniczkowego można przedłużyć do rozwiązania wysyconego^[5].

Niech ${\displaystyle J\subseteq {\mathbb {R} }}$ i ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ będą zbiorami otwartymi. Niech ${\displaystyle f:J\times \Omega \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in J\times \Omega }$ istnieją zbiory otwarte ${\displaystyle U\subseteq J}$ i ${\displaystyle V\subseteq \Omega }$ takie, że:

• ${\displaystyle U\subseteq {\mbox{cl}}\ (U)\subseteq J}$ i ${\displaystyle V\subseteq {\mbox{cl}}\ (V)\subseteq \Omega ,}$
• ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in U\times V,}$
• ${\displaystyle \exists L>0\ \forall t\in U\ \forall x,y\in V\ \|f(t,x)-f(t,y)\|\leqslant L\|x-y\|.}$

Wówczas dla każdego ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in J\times \Omega }$ istnieje dokładnie jedno niep rozwiązanie ${\displaystyle u:I\longrightarrow \Omega }$ zagadnienia Cauchy’ego:

${\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))\\[2pt]x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}}$

Ponadto maksymalny odcinek ${\displaystyle I=(a,b)}$ istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

• ${\displaystyle \inf J=a}$ i ${\displaystyle \sup J=b}$

lub

• jeśli ${\displaystyle a>\inf J,}$ to ${\displaystyle \lim _{t\to a}\min \left\{{\mbox{dist}}\left(u(t),{\mbox{bd}}\ \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,}$
• jeśli ${\displaystyle b<\sup J,}$ to ${\displaystyle \lim _{t\to b}\min \left\{{\mbox{dist}}\left(u(t),{\mbox{bd}}\ \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,}$

• twierdzenie Picarda

• KrzysztofK. Frączek KrzysztofK., Równania różniczkowe [online], 2003 [dostęp 2013-03-30] .