Przestrzeń Banacha

Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana ${\displaystyle X}$ (z normą ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka ${\displaystyle d}$ dana wzorem

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|\quad (x,y\in X),}$

jest zupełna. Zupełność metryki oznacza, że każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest zbieżny (do pewnego elementu przestrzeni ${\displaystyle X}$)^[1].

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe, stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze dla ${\displaystyle p\geqslant 1.}$ Norbert Wiener i Stefan Banach^[2] zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet^[3], honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

W dalszym ciągu symbol ${\displaystyle \mathbb {K} }$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciało ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci

${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {K} ^{n}}$

norma ta dana jest wzorem

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}.}$

Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

${\displaystyle \|x\|_{\max }=\max _{1\leqslant i\leqslant n}|x_{i}|.}$

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

• Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
• Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzeń ${\displaystyle C(\Omega ),}$ wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle \Omega }$ z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon \,x\in \Omega \}.}$

Ważnymi przykładami takich przestrzeni są ${\displaystyle C[0,1]}$ (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy ${\displaystyle C[0,\omega _{1}]}$ (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej ${\displaystyle [0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1}$ z topologią porządkową).

Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń ${\displaystyle C(\Omega ,Y)}$ wszystkich funkcji ciągłych ${\displaystyle f\colon \Omega \to Y}$ z normą

${\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|\colon \,x\in \Omega \}}$

jest przestrzenią Banacha.

Przestrzeń zwartą ${\displaystyle \Omega }$ powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem ${\displaystyle A,}$ wymagając dodatkowo, by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości), gdyż zbiór ${\displaystyle A}$ nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji ${\displaystyle f\colon A\to Y}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle \ell _{\infty }(A,Y).}$ Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy ${\displaystyle Y}$ jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez ${\displaystyle \ell _{\infty }(A)}$ bądź nawet ${\displaystyle \ell _{\infty },}$ gdy ${\displaystyle A}$ jest zbiorem liczb naturalnych.

Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle C(\beta \mathbb {N} )}$ funkcji ciągłych na ${\displaystyle \beta \mathbb {N} ,}$ tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle c_{0}}$ ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }.}$ Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ jest jednak domknięta:

Niech

${\displaystyle e_{k}=(0,0,\dots ,0,1,0,0,\dots ),}$

tzn. ${\displaystyle e_{k}}$ jest takim ciągiem, który na ${\displaystyle k}$-tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem ${\displaystyle c_{00}}$ oznacza się zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych ciągów ${\displaystyle e_{k}.}$ Innymi słowy elementami przestrzeni ${\displaystyle c_{00}}$ są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń ${\displaystyle c_{00}}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle c,}$ ponieważ suma dwóch ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

${\displaystyle \textstyle \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {e_{k}}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

jest ciągiem Cauchy’ego punktów (ciągów) z przestrzeni ${\displaystyle c_{00},}$ który jest zbieżny w przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ do ciągu

${\displaystyle (1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots )\notin c_{00},}$

a zatem przestrzeń ${\displaystyle c_{00}}$ nie jest przestrzenią Banacha.

Dla ustalonego ${\displaystyle p\geqslant 1}$ oraz dowolnej przestrzeni z miarą (${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \mu }$) przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ funkcji całkowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze na ${\displaystyle \Omega }$ jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}(\Gamma )}$ ciągów sumowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze na zbiorze ${\displaystyle \Gamma .}$ Ogólniej, przestrzenie Lorentza ${\displaystyle L_{p,q}}$ i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.

Przestrzeń liniowa ${\displaystyle B(X,Y)}$ wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ w przestrzeń Banacha ${\displaystyle Y}$ z normą

${\displaystyle \|T\|=\inf\{A>0\colon \|T(x)\|\leqslant A\|x\|,\;x\in X\}}$

jest przestrzenią Banacha. Gdy ${\displaystyle X\neq \{0\},}$ to norma operatorowa wyraża się wzorem

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\sup _{\|x\|\leqslant 1}\|T(x)\|\\&=\sup _{\|x\|=1}\|T(x)\|\end{aligned}}\quad (T\in {\mathcal {B}}(X,Y)).}$

Przestrzeń ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej można wyróżnić następujące ideały:

• ideał operatorów skończonego rzędu (tzn. takich, których obraz jest skończenie wymiarową podprzestrzenią ${\displaystyle X}$) oraz jego domknięcie, ideał operatorów aproksymowalnych,
• ideał operatorów zwartych,
• ideał operatorów słabo zwartych,
• ideał operatorów ściśle singularnych,
• ideał operatorów, których obraz jest ośrodkową podprzestrzenią ${\displaystyle X,}$
• ideał operatorów Hilberta-Schmidta (w teorii przestrzeni Hilberta).

oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu oraz ideałem operatorów Hilberta-Schmidta, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie tworzą ideału zaliczają się

• operatory Fredholma,
• operatory nuklearne.

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią unormowaną nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {K} }$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń ${\displaystyle B(X,\mathbb {K} ),}$ wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem ${\displaystyle X^{*}}$ (czasem również ${\displaystyle X'}$) i nazywa przestrzenią sprzężoną do ${\displaystyle X.}$ Pojęcie przestrzeni sprzężonej pozwala na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w ${\displaystyle X,}$ oznaczanej symbolem ${\displaystyle \sigma (X,X^{*}),}$ tj. najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni ${\displaystyle X^{*}}$ są ciągłe.

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle (X^{*})^{*}=X^{**}}$ (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ funkcjonał ${\displaystyle \kappa (x)}$ dany wzorem

${\displaystyle \langle \kappa (x),x^{*}\rangle =\langle x^{*},x\rangle \quad (x^{*}\in X^{*}).}$

Dla każdego ${\displaystyle x}$ tak określony funkcjonał ${\displaystyle \kappa (x)}$ jest elementem przestrzeni ${\displaystyle X^{**}}$ oraz odwzorowanie ${\displaystyle \kappa }$ jest izometrią. Gdy odwzorowanie ${\displaystyle \kappa }$ jest „na”, tj. ${\displaystyle \kappa (X)=X^{**},}$ to przestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywa się przestrzenią refleksywną. Ponieważ ${\displaystyle X^{**}}$ jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna – również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi. Zbiór liczb rzeczywistych (z normą „wartość bezwzględna”) jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2,}$

podczas gdy szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

jest rozbieżny.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu ${\displaystyle x\in X}$ istnieje taki ciąg skalarów ${\displaystyle (a_{n}),}$ że

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}.}$

Jeśli istnieje baza przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

${\displaystyle {\overline {\text{lin}}}\{e_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}=X.}$

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę, to jest ona ośrodkowa, ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granicą ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona).

Niech ${\displaystyle (e_{n})}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Jeśli istnieje taki ciąg ${\displaystyle (e_{n}^{*})}$ elementów przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*},}$ że

1. ${\displaystyle \langle e_{k}^{*},e_{j}\rangle =0}$ dla ${\displaystyle k\neq j}$ oraz ${\displaystyle \langle e_{k}^{*},e_{k}\rangle =1}$ dla ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$
2. każdy element ${\displaystyle x\in X}$ można przedstawić jednoznacznie w postaci

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }\langle e_{n}^{*},x\rangle e_{n},}$

to ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni ${\displaystyle X}$ natomiast ciąg ${\displaystyle (e_{n}^{*})}$ nazywany jest ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z ${\displaystyle (e_{n}).}$

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie, ponieważ obie definicje są równoważne w klasie przestrzeni Banacha – ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ jest bazą przestrzeni ${\displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równoważne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Baza Schaudera przestrzeni Banacha (o ile istnieje) nie jest bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich moc – wymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum^[4][5].

• wolna przestrzeń Banacha nad przestrzenią metryczną

• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. T. 1. Warszawa: 1932, seria: Monografie Matematyczne. Brak numerów stron w książce
• John Horton Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 1985. Brak numerów stron w książce
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. ISBN 83-01-09055-3. (pol.). Brak numerów stron w książce
• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002. ISBN 83-01-13375-9. (pol.). Brak numerów stron w książce

• Banach space (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].