Problem NP-trudny
Problem NP-trudny (NPH, ang. NP-Hard) – problem obliczeniowy, którego rozwiązanie jest co najmniej tak trudne, jak rozwiązanie każdego problemu z klasy NP (całej klasy NP).
Formalna definicja problemu NP-trudnego jest następująca:
- Problem jest NP-trudny, jeżeli pewien problem NP-zupełny jest do niego redukowalny wielomianową transformacją Turinga.
Innymi słowy, problem NP-zupełny można rozwiązać w wielomianowym czasie algorytmem rozwiązującym problem NP-trudny przez wykorzystanie hipotetycznej procedury sprowadzającej problem NP-zupełny do problemu NP-trudnego jeżeli tylko daje się wykonać w wielomianowym czasie. NP-trudność można zdefiniować także w kategorii języków formalnych (a nie problemów). Do klasy problemów NP-trudnych mogą należeć problemy różnego typu: decyzyjne, przeszukiwania, optymalizacyjne.
Wraz z definicjami klas problemów NP i NP-zupełnych ma to następujące konsekwencje:
- problem optymalizacyjny, którego wersja decyzyjna jest NP-zupełna, jest problemem NP-trudnym;
- NP-trudny problem jest co najmniej tak trudny, jak problem
- ponieważ jest problemem NP-zupełnym, toteż należy on do problemów najtrudniejszych w klasie NP, dlatego NP-trudny problem jest co najmniej tak trudny, jak cała klasa NP;
- ponieważ wszystkie problemy NP-zupełne transformują się wzajemnie do siebie (zwykłą) transformacją wielomianową (nie Turinga), to również wszystkie problemy NP-zupełne można rozwiązać przez redukcję do NP-trudnego problemu
- ponadto, jeśli to problemy NP-trudne nie mają rozwiązań w czasie wielomianowym, natomiast rozstrzygnięcie nie przesądza o wielomianowej rozwiązywalności wszystkich problemów NP-trudnych;
- jeżeli problem należy do klasy NP, to jest też problemem NP-zupełnym (gdyż wraz z istniejącą transformacją Turinga spełnia definicję problemu NP-zupełnego).
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- problem komiwojażera
- problem plecakowy
- problem zbioru niezależnego
- problem zbioru wierzchołków rozrywających cykle
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- M. R. Garey, D. S. Johnson, Computers and Intractability: A guide to the Theory of NP-Completeness, W.H.Freeman and Co., San Francisco, 1979.
- Christos H. Papadimitriou, Złożoność obliczeniowa, WNT, 2002.
- T. H. Cormen, C. E. Leiserson, C. Stein i R. L. Rivest, Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004
- M. Kubale, Łagodne wprowadzenie do analizy algorytmów, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, 2004.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- The Complexity Zoo. complexityzoo.uwaterloo.ca. [zarchiwizowane z tego adresu (2019-08-27)].