Hipoteza Gilbreatha

Hipoteza Gilbreatha – problem teorii liczb, po raz pierwszy sformułowany przez François Protha w 1878 roku^[1], podał on również jej dowód, jednak okazał się on błędny^[2]. Niezależnie od niego hipoteza została sformułowana w XX wieku przez Normana Gilbreatha i do tej pory pozostaje nieudowodniona^[2].

Rozważmy ciąg liczb pierwszych:

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots }$

Obliczając wartość bezwzględną różnic kolejnych elementów ciągu, otrzymujemy ciąg:

${\displaystyle 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots }$

Powtarzając operację dla powyższego ciągu, dostajemy:

${\displaystyle 1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,2,\dots }$

Jak widzimy, po kilku iteracjach za każdym razem otrzymujemy ciąg, którego pierwszym elementem jest 1. Naturalnym pytaniem jest, czy dzieje się tak dla dowolnie wielu iteracji.

Niech ${\displaystyle (p_{n})}$ oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. Możemy z nim stowarzyszyć ciąg ${\displaystyle (d_{n}^{1}),}$ gdzie ${\displaystyle d_{n}^{1}=|p_{n+1}-p_{n}|.}$ Mając ciąg ${\displaystyle (d_{n}^{k}),}$ określamy ciąg ${\displaystyle (d_{n}^{k+1}),}$ przyjmując ${\displaystyle d_{n}^{k+1}=|d_{n+1}^{k}-d_{n}^{k}|.}$ Hipoteza Gilbreatha stanowi, że ${\displaystyle d_{1}^{k}=1}$ dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k.}$

Problem pozostaje nierozwiązany do dzisiaj, choć w 1993 roku Andrew Odlyzko sprawdził ją dla ${\displaystyle k\leqslant 346\,065\,536\,839}$^[2].

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gilbreath's Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].