Funkcja Greena

Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji.

Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: opisać to bardziej szczegółowo (tzn. odpowiednie operatory), podać przykład funkcji Greena dla równania ciepła, dodać źródła - np. monografię Evansa (po uprzednim sprawdzeniu artykułu).
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja Greena, propagator – funkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Formalizm funkcji Greena pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do analogicznego problemu rozwiązania równania całkowego^[1].

Funkcje nazwane są na cześć angielskiego matematyka i fizyka, George’a Greena^[2].

Szczególna rolę funkcje Greena odgrywają w mechanice kwantowej układów wielu cząstek i kwantowej mechanice statystycznej. Stanowią one standardowe narzędzie teorii układów wielu cząstek. Ich szczególna rola wynika stąd, że istnieją bezpośrednie relacje pomiędzy funkcjami Greena a wartościami mierzalnymi w eksperymentach, czyli wielkości obserwowane w doświadczeniach bardzo często stanowią prostą kombinację funkcji Greena.

Funkcje Greena stosowane w fizyce nazywa się często funkcjami korelacji.

Wyróżnia się następujące typy funkcji:

• funkcja kauzalna (przyczynowa) ${\displaystyle iG=\langle \langle \mathrm {T} (c_{1}c_{2}^{\dagger })\rangle \rangle ,}$

• funkcja antykauzalna ${\displaystyle iG=\langle \langle \mathrm {{\tilde {T}}(c_{1}c_{2}^{\dagger })} \rangle \rangle ,}$

• funkcja retardowana ${\displaystyle G=i\Theta (t)\langle \langle [c_{1},c_{2}^{\dagger }]_{\pm }\rangle \rangle ,}$

• funkcja adwansowana ${\displaystyle G=-i\Theta (-t)\langle \langle [c_{1},c_{2}^{\dagger }]_{\pm }\rangle \rangle ,}$

• funkcja (określana czasem jako G większe) ${\displaystyle iG^{>}=\langle \langle c_{1}c_{2}^{\dagger }\rangle \rangle ,}$

• funkcja (określana czasem jako G mniejsze) ${\displaystyle iG^{<}=\langle \langle c_{1}^{\dagger }c_{2}\rangle \rangle .}$

W powyższych wzorach operator ${\displaystyle \mathrm {T} }$ oznacza uporządkowanie chronologiczne operatorów, ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {T} }}}$ oznacza uporządkowanie antychronologiczne, operatory ${\displaystyle c_{1}^{\dagger },c_{2}}$ oznaczają zależne od czasu operatory kreacji i anihilacji cząstek (przy czym indeks 1,2 oznacza zależność od położenia lub pędu oraz czasu), czas w funkcjach retardowanej i adwansowanej ${\displaystyle t=t_{1}-t_{2},}$ nawias ${\displaystyle [.,.]_{\pm }}$ oznacza antykomutator/komutator odpowiednio dla fermionów/bozonów, natomiast ${\displaystyle \langle \langle .\rangle \rangle }$ jest wartością oczekiwaną, bądź odpowiednią dla rozważanego zagadnienia kwantową suma termodynamiczna.

Powyższe definicje nie są jedynymi możliwymi. Istnieje dużo konwencji, a przykłady te służą jedynie pokazaniu podstawowych różnic pomiędzy różnymi typami funkcji Greena.

Dla skończenietemperaturowych funkcji Greena (czyli dla układów, w których temperatury są nierówne zero) wprowadza się formalizm Matsubary. Funkcje Greena w skończonych temperaturach są kwantowymi średnimi termodynamicznymi, w których występuje dodatkowy czynnik ${\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}}),}$ gdzie ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}},}$ ${\displaystyle k_{B}}$ jest stałą Boltzmana, ${\displaystyle T}$ temperaturą ${\displaystyle {\hat {H}}}$ hamiltonianem układu. Nie jest to jedyne miejsce, gdzie występuje operator ${\displaystyle {\hat {H}}}$ – jest on także obecny w ewolucji czasowej operatorów kreacji i anihilacji (czynnik ${\displaystyle \exp(\pm i{\hat {H}})}$). Przy iloczynie tych czynników można byłoby je połączyć przyjmując, że

1. ${\displaystyle \beta }$ jest urojona i mamy do czynienia z ewolucją (poza zwykłą ewolucją czasową) dodatkową ewolucją w urojonym czasie o długości ${\displaystyle \beta ;}$
2. traktujemy czas jako urojoną temperaturę ${\displaystyle (t=i\tau ).}$

Metoda Matsubary^[3] opiera się na drugiej możliwości. Okazuje się, że wtedy jednocząstkowe funkcje Greena posiadają własności periodyczności/antyperiodyczności dla bozonów/fermionów. W związku z tym funkcje te można przedstawić przez szeregi Fouriera, w których zostają częstości nieparzyste/parzyste dla fermionów/bozonów. Wtedy obliczenie funkcji Greena sprowadza się do wykonania odpowiednich sum po częstościach.

Retardowane funkcje Greena otrzymujemy z funkcji w częstościach dokonując kontynuacji analitycznej, co sprowadza się do podstawienia ${\displaystyle i\omega _{n}\rightarrow \omega +i\delta }$ dla funkcji retardowanej ${\displaystyle i\omega _{n}\rightarrow \omega -i\delta .}$

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.