Ciąg Fareya

Ciąg ułamków Fareya rzędu ${\displaystyle n}$ – rosnący ciąg ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ wszystkich nieskracalnych ułamków ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$ takich, że ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n\wedge 0\leqslant h\leqslant k}$^[1].

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{5}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {1}{1}}\right)}$^[2].

• Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya^[3].
• Dla ${\displaystyle N\geqslant 1}$ nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku^[4].
• Jeśli ${\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}},{\frac {h_{3}}{k_{3}}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n},}$ to ${\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}}$^[5].
• Jeśli ${\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n},}$ to ${\displaystyle k_{1}+k_{2}\geqslant n+1}$^[6].

Ta sekcja od 2017-07 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

Znaleźć liczby ${\displaystyle m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d}$ najbliższe ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}},}$ których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

${\displaystyle {\frac {0}{1}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{1}},}$

czyli

${\displaystyle {\frac {0}{1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}$

zachodzi nierówność:

${\displaystyle {\frac {0+1}{1+1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}},}$

więc:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}$

Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że ${\displaystyle {\frac {1+1}{2+1}}={\frac {2}{3}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}},}$

czyli:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}$

a zatem:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}$

W kolejnych krokach dostajemy:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {3}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {7}{10}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {17}{24}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {29}{41}}}$

Liczby ${\displaystyle {\frac {12}{17}}}$ oraz ${\displaystyle {\frac {29}{41}}}$ są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

• drzewo Sterna-Brocota

• Ułamki Fareya, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Farey Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).