Działanie dwuargumentowe

Sa to funkcje przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru ${\displaystyle X}$  element tego samego zbioru:

${\displaystyle *\colon X\times X\to X,\ \forall x,y\in X\colon (x,y)\mapsto x*y.}$ 

Przykłady to:

• dodawanie (+) liczb naturalnych i jego uogólnienia jak dodawanie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
• odejmowanie (−) liczb całkowitych i jego uogólnienia jak odejmowanie liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
• mnożenie (·) liczb naturalnych i jego uogólnienia jak odejmowanie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
• dzielenie (:) niezerowych liczb wymiernych, niezerowych rzeczywistych, niezerowych zespolonych i innych. Nie jest to działanie na wszystkich liczbach wymiernych, gdyż nie jest określone dzielenie przez zero – wynik dla par postaci ${\displaystyle (x,0)}$ ^[2];
• potęgowanie dodatnich liczb naturalnych i jego uogólnienie na potęgowanie dodatnich liczb rzeczywistych;
• dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej;
• złożenie funkcji działających wewnątrz ustalonego zbioru, inaczej działań jednoargumentowych: ${\displaystyle \circ \colon F\times F\to F.}$ 

Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest ${\displaystyle 0,}$  elementem neutralnym mnożenia jest ${\displaystyle 1.}$  Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych. W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne^{[potrzebny przypis]}.

Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów ${\displaystyle X}$  oraz ${\displaystyle Y}$  element pewnego zbioru ${\displaystyle Z,}$ 

${\displaystyle \spadesuit \colon X\times Y\to Z,\quad \forall _{x\in X,y\in Y}\;(x,y)\mapsto \spadesuit (x,y)}$ 

Przykładami takich działań są

• mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$  nad ciałem ${\displaystyle K,}$ 

  ${\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V,}$ 

• działanie grupy ${\displaystyle G}$  na zbiorze ${\displaystyle X,}$ 

  ${\displaystyle \varphi \colon G\times X\to X.}$ 

Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. ${\displaystyle f(a,b),}$  opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. ${\displaystyle a\oplus b,}$  choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) ${\displaystyle \diamondsuit }$  wyróżnia się notacje

• przedrostkową, prefiksową lub polską,

  ${\displaystyle \diamondsuit (x,y),}$ 

• przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,

  ${\displaystyle (x,y)\diamondsuit ,}$ 

• wrostkowa, infiksowa,

  ${\displaystyle (x\;\diamondsuit \;y).}$ 

Przykładowo wyrażenie wrostkowe ${\displaystyle 2\cdot (4-1)+3,}$  będzie miało następującą postać

• prefiksową: ${\displaystyle +\,\cdot \,2\,-\,4\;1\;3,}$ 
• postfiksową: ${\displaystyle 2\,4\,1\,-\,\cdot \,3\,+.}$ 

Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.

Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:

• plus:

  ${\displaystyle +\oplus \bigoplus \uplus \biguplus \boxplus }$  lub

• zwężających się ku dołowi:

  ${\displaystyle \cup \bigcup \biguplus \sqcup \bigsqcup \vee \bigvee .}$ 

Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę ${\displaystyle -\circleddash \ominus \boxminus .}$ 

Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:

• kropkę lub okrągły znak:

  ${\displaystyle \cdot \circ \bullet \bigodot \boxdot \;\circledcirc ,}$ 

• iks:

  ${\displaystyle \times \otimes \bigotimes \boxtimes ,}$ 

• gwiazdkę:

  ${\displaystyle \star *\circledast }$  lub

• zwężające się ku górze

  ${\displaystyle \cap \bigcap \sqcap \wedge \bigwedge .}$ 

Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez ${\displaystyle \cdot ^{-1},}$  notacji wynikającej z definicji potęgowania.

Strukturę ${\displaystyle (X,\heartsuit )}$  nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie ${\displaystyle \heartsuit }$  ma dodatkowo element neutralny, to struktura ${\displaystyle (X,\heartsuit )}$  jest monoidem. Jeśli struktura ${\displaystyle (X,\diamondsuit ,\heartsuit )}$  jest grupą ze względu na przemienne działanie ${\displaystyle \diamondsuit }$  i półgrupą ze względu na ${\displaystyle \heartsuit ,}$  przy czym działanie ${\displaystyle \heartsuit }$  jest rozdzielne względem ${\displaystyle \diamondsuit ,}$  to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie ${\displaystyle \heartsuit }$  jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.

• Liczba Grahama
• Notacja strzałkowa
• Tetracja

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Binary Operation, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
•   Binary operation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].