Virkningsprinsipp

Virkningsprinsipp i fysikken er en formulering av de fundamentale lovene basert på begrepet virkning. Mens kinetisk energi og potensiell energi for et system har bestemte verdier for hvert tidspunkt i dets bevegelse, er dets virkning et resultat av bevegelsen over et endelig tidsrom. Prinsippet sier at den klassiske bevegelsen skal ha en ekstremal virkning, det vil si være minimal eller maksimal. Ofte og spesielt for korte tidsforløp, er den minimal. Det omtales derfor mange ganger som prinsippet om minste virkning.

Av alle mulige veier mellom blått og rødt punkt vil den virkelige veien finnes der variasjonen av virkningen er null.

Det første virkningsprinsipp ble formulert av den franske naturviter og filosof Pierre Louis Maupertuis i 1744. Han forsøkte med dette å generalisere Fermats prinsipp som bestemmer lysets gang i geometrisk optikk, til også gjelde for vanlige partikler. Dette prinsippet sier at lysets gang mellom to punkt er gitt ved den banen som tar minst tid. På den tiden var det antatt at lys bestod av en strøm av små lyspartikler. Ut fra den feilantagelse at lyset beveger seg raskere i et tett medium som vann enn i et tynt medium som luft, postulerte han at en partikkel skulle bevege seg slik at dens bevegelsesmengde (massen multiplisert med hastigheten) multiplisert med tilbakelagt veistrekning skulle være minst mulig. Dette er Maupertuis' virkningsprinsipp. Det ble samme år også oppdaget av den store, sveitsiske matematiker Leonhard Euler som formulerte det på en mye mer presis måte. Opprinnelig inngikk det som et appendiks til hans store verk som la grunnlaget for moderne variasjonsregning.^[1]

Hundre år senere viste den irske fysiker og matematiker William Hamilton at de samme, mekaniske lovene kunne utledes fra et enklere virkningsprinsipp basert i stedet på Lagrange-funksjonen til systemet. Har systemet en kinetisk energi T og en potensiell energi V, er denne L = T - V. Dette er i motsetning til den totale energien til systemet som er E = T + V. Noen av de viktigste fordelene med dette prinsippet er at det kan generaliseres til å gjelde også for relativistsike partikler som har hastigheter tett opp til lyshastigheten samt at det mer direkte kan benyttes i beskrivelsen av kontinuumsmekanikk og i feltteorier.

Maupertuis og Euler mente at det måtte ligge en guddommelig styrelse bak prinsippet og resultere i en perfekt verden.^[2] Men i dag vet man at den virkelig grunnen er en direkte konsekvens av kvantemekanikken som formulert av den amerikanske fysiker Richard Feynman. De kvantemekaniske lovene som virker på mikroskopisk nivå resulterer i en klassisk bevegelsen på makroskopisk nivå som har en ekstremal virkning.

Matematisk formuleringer

Virkningen som ble foreslått av Maupertuis for en partikkel med masse m som beveger seg fra et punkt A til et punkt B med en hastighet v = v(r) som varierer med posisjonen r langs en viss bane, er gitt ved integralet

W=m\!\int _{A}^{B}\!dsv(\mathbf {r} )

Her er ds = vdt den infinitesemale banestrekningen som tilbakelegges i en infinitesemal tid dt. Prinsippet om minste virkning sier nå at den banen som partikkelen virkelig følger, det vil si hva vi kaller den klassiske banen, er den som gir den minste verdien for dette integralet. Euler påpekte at i denne sammenligningen av virkningene for forskjellige baner, måtte man kun betrakte baner som hadde den samme, totale energien E = T + V.

Euler viste også at dette kunne best gjøres ved en ny, matematisk metode som han utviklet med dette for øye og som i dag omtales som variasjonsregning. Betrakter man en liten variasjon av banen δr slik at hvert punkt langs den forandres til r + δr, vil det resultere i en tilsvarende variasjon δW av virkningen. Den klassiske banen er da gitt ved kravet om at denne skal være null,

\delta W=0\,.

Den tilsvarende virkningen har da en ekstremalverdi. For tilstrekkelig korte baner er dette en minimum. På den måten hadde Euler gitt prinsippet om minste virkning en matematisk formulering.

Hamiltons virkningsprinsipp

Hastigheten v til partikkelen bestemmer dens kinetiske energi T = mv²/2. Derfor kan virkningsintegralet også skrives som

W=m\!\int _{A}^{B}\!dtv^{2}=\int _{A}^{B}2Tdt

Men nå er 2T = E + T - V slik at variasjonen av virkningen blir

\delta W=\int _{A}^{B}\!dt[\delta E+\delta (T-V)]

Her er første ledd lik null da δE = 0 fordi energien til de varierte banene må forbli uforandret. Andre ledd inneholder kombinasjonen L = T - V som er Lagrange-funksjonen til partikkelen. Minste virknings prinsipp kan da skrives som δS = 0 hvor

S=\int _{A}^{B}\!dt(T-V)

som er virkningen som inngår i Hamiltons virkningsprinsipp. På denne formen vil det ikke lenger være noen restriksjoner på variasjonene δr som inngår i beregningen. De to ytterpunktene er nå angitt ved de tilsvarende tidspunktene t_A og t_B da partikkelen befinner seg der.

I denne fremstillingen har man betraktet en ikke-relativistisk partikkel hvor Lagrange-funksjonen kan skrives direkte uttrykt ved kinetisk og potensiell energi som L = T - V. Men for mer generelle system er det ikke mulig å foreta en slik enkel oppsplitting. Den eneste fundamentale størrelsen som inngår i Hamiltons virkningsprinsipp er da kun Lagrange-funksjonen. For eksempel, så følger Einsteins feltligninger for gravitasjonsfeltet ved å sette denne lik den skalare krummningen til det tilsvarende 4-dimensjonale tidrommet som vist av den tyske matematiker David Hilbert i 1915. Det var samme år som Albert Einstein kom frem til dem på en mer indirekte måte.

Referanser

^ Leonhard. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, skannet original fra Dartmouth College, USA.
^ Ivar Ekeland, The best of all possible Worlds, University of Chicago Press, Chicago (2006). ISBN 0-226-19995-9.

Litteratur

H. Goldstine: A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer, New York (1980). ISBN 1-4613-8106-8.

[1] Leonhard. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, skannet original fra Dartmouth College, USA.

[2] Ivar Ekeland, The best of all possible Worlds, University of Chicago Press, Chicago (2006). ISBN 0-226-19995-9.

[1]