Gravitasjonsfelt

I 1687 publiserte Newton sin lov for gravitasjonskraften mellom en masse m og en annen masse M som man kan anta befinner seg i origo. Hvis da massen m befinner seg i posisjon r, er den påvirket av kraften

${\displaystyle \mathbf {F} =-G{mM \over r^{3}}\mathbf {r} }$ 

hvor G er gravitasjonskonstanten og minustegnet viser at kraften er tiltrekkende. Er også andre masser M_i  til stede, vil disse også bidra på samme måte til kraften som virker på m. Totalkraften finnes ved å summere bidragene fra hver av disse andre massene.

Dette er første eksempel på en fjernvirkningsteori hvor kraften mellom de to massene virker instantant fra den ene til den andre uten noen tidsforsinkelse. Likedan sier loven ingenting om hvordan denne kraften i det hele tatt er i stand til å virke på avstand uten å ha noe medium å bevege seg gjennom. Newton selv var opptatt av disse spørsmålene.^[1]

Omtrent to hundre år senere viste Laplace i sine verk om celest mekanikk at man kunne få en bedre forståelse av disse problemene ved å beskrive Newtons lov for gravitasjonskraften som virker på en masse m i posisjon r, ved å si at alle andre masser M_i  i posisjoner r_i  skaper et vektorfelt g i dette punktet gitt ved

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\sum _{i}{GM_{i} \over |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$ 

Dette er gravitasjonsfeltet i alle punkt utenfor de gitte massene.^[2] Kraften som virker på massen m, kan da skrives som

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {g} (\mathbf {r} )}$ 

På samme måte vil en annen masse m'  som befinner seg i en posisjon r' i det samme gravitasjonsfeltet, bli utsatt for kraften F' = m'  g(r' ). En tilsvarende formulering benyttes for å uttrykke Coulombs lov for elektriske krefter i elektrostatikken ved å beskrive dem som resultatet av et elektrisk felt.

Da kraften mellom to masser er rettet langs deres forbindelseslinje, sies den å være konservativ. Gravitasjonsfeltet kan derfor skrives som gradienten av et potensial som er et skalarfelt Φ(r)  og definert ved

${\displaystyle \mathbf {g} =-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$ 

For en samling masser M_i  i posisjoner r_i  er dette gravitasjonspotensialet gitt som

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\sum _{i}{GM_{i} \over |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}$ 

Da en slik skalar funksjon vanligvis er mye enklere å beregne enn et vektorfelt, er gravitasjonspotensialet både teoretisk og praktisk viktig. Gravitasjonsfeltet spiller en sekundær rolle som kan finnes fra potensialet ved en derivasjon.

Kraften F = m g som virker på en masse m i et gravitasjonsfelt, vil gi den en akselerasjon a = d²r/dt²  som følger fra Newtons andre lov m a = F. Det gir ganske enkelt den klassiske bevegelsesligningen a = g eller

${\displaystyle {d^{2}\mathbf {r} \over dt^{2}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$ 

når man skriver gravitasjonsfeltet som g = - ∇ Φ. Massen m er forsvunnet fra ligningen som et uttrykk for ekvivalensprinsippet.

Som et enkelt eksempel kan man betrakte gravitasjonsfeltet på Jordens overflate. Hvis den har masse M og radius R, har dette en størrelse g = GM/R². Setter man her inn massen M = 5.97×10²⁴ kg og R = 6.37×10³ km, finner man den kjente verdien g = 9.82 m/s².^[2]

Mens gravitasjonspotensialet på overflaten er Φ₀ = - GM/R, har det i en høyde z << R over denne verdien Φ = - GM/(R + z) = Φ₀ + gz. En partikkel i denne høyden får derfor en akselerasjon kun i z-retning med størrelse g og rettet nedover slik at bevegelsesligningen blir d²z/dt² = - g. Starter partikkelen i punktet z₀ med hastighet v₀, vil posisjonen senere langs denne aksen være gitt som

${\displaystyle z=z_{0}+v_{0}t-{1 \over 2}gt^{2}}$ 

Hastigheten i x- og y-retning vil ikke forandre seg siden massen ikke har noen akselerasjon i disse retningene.

De geometriske egenskapene til tidrommet med koordinatene x^μ = (x⁰ = ct, x) er i den generelle relativitetsteorien gitt ved det kvadratiske linjeelementet

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$ 

hvor c er lyshastigheten og man benytter Einsteins summekonvensjon hvor man summerer over alle like par med indekser. Den metriske tensoren g_μν forenkles til Minkowski-metrikken med de diagonale komponentene (1, -1, -1, -1) i et inertialsystem.

En fri partikkel vil følge en geodetisk kurve i tidrommet. Det følger fra ekvivalensprinsippet og betyr at bevegelsen er gitt som en løsning av differensialligningen

${\displaystyle {d^{2}x^{\sigma } \over ds^{2}}+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}=0}$ 

hvor størrelsen av linjeelementet er forbundet ved partikkelens egentid ved relasjonen ds = cdτ. Størrelsene Γ^σ_μν  er Christoffel-symbol gitt ved deriverte av komponentene til metrikken g_μν.^[3]

Sammenlignes den geodetiske ligningen med den tilsvarende bevegelsesligningen i Newtons teori, ser man at det siste leddet tilsvarer leddet med gravitasjonsfeltet. Man kan derfor med en viss rett si at dette går over til å bli beskrevet ved Christoffel-symbolene i Einsteins teori.

Mer presist kan man se denne sammenhengen ved å gå til den ikke-relativistiske grensen hvor partikkelen beveger seg med en hastighet v mye mindre enn lyshastigheten i et statisk tidrom. Første komponent σ = 0 av den geodetiske ligningen gir da at partikkelens egentid τ blir lik koordinattiden t. De andre komponentene til den samme ligningen reduseres dermed til

${\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}+\Gamma _{\;00}^{i}c^{2}=0}$ 

I den samme grensen er dette Christoffel-symbolet gitt som 2Γⁱ₀₀ = ∂g₀₀/∂xⁱ slik at man finner verdien

${\displaystyle g_{00}=1+{2\Phi \over c^{2}}}$ 

for denne metriske komponenten. Den uttrykker Einsteins forklaring av det newtonske gravitasjonsfeltet som fremkommer som en rent geometrisk egenskap ved tidrommet. Newtons fysikk kan benyttes for svake gravitasjonspotensial som oppfyller betingelsen |Φ| << c² og hastigheter v << c.^[3]

I Newtons gravitasjonsteori er gravitasjonsfeltet identisk med tyngdeakselerasjonen g. Når man snakker om gravitasjonsfelt i Einsteins relativistiske teori, er det mest nærliggende å tenke på Christoffel-symbolene Γ^σ_μν som inngår i den geodetiske bevegelsesligningen. I praksis mener man derimot den metriske tensoren g_μν  som omtales som det «relativistiske gravitasjonsfeltet». Men strengt tatt er dette et relativistisk gravitasjonspotensial da Christoffel-symbolene er gitt som deriverte av disse metriske komponentene.

Dette er analogt med hva som vanligvis skjer i elektromagnetisk teori når den formuleres på relativistisk måte som i kvanteelektrodynamikk. Da omtales ofte det elektromagnetiske firepotensialet A_μ som «det elektromagnetiske feltet» og det er disse komponentene som kvantiseres. Men formelt sett skulle denne betegnelsen være reservert for Faraday-tensoren F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ  med komponenter som er det elektriske feltet E og magnetiske feltet B. Samtidig er både A_μ og F_μν  felt ut fra den mer matematiske definisjonen av hva et felt er.