Poyntings vektor

Energien til det elektromagnetiske feltet kan enklest uttrykkes ved feltvektorene D = ε₀E og B = μ₀H ved bruk av den elektriske konstanten ε₀  og den magnetiske konstanten μ₀. Den tilsvarende energitettheten kan da skrives som^[1]

${\displaystyle u={1 \over 2}{\Big (}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} {\Big )}}$ 

hvor i allminnelighet feltene varierer i tid og rom. Den totale energien i et volum V er da gitt ved integralet

${\displaystyle U(t)=\int _{V}\!d^{3}xu(\mathbf {x} ,t)}$ 

Forandringen av denne energien med tiden kan nå skrives som

${\displaystyle {dU \over dt}=\int _{V}\!d^{3}x{\partial u \over \partial t}=\int _{V}\!d^{3}x{\Big (}\mathbf {E} \cdot {\partial \mathbf {D} \over \partial t}+\mathbf {H} \cdot {\partial \mathbf {B} \over \partial t}{\Big )}}$ 

Antar man nå for enkelhets skyld at volumet under betrakting ikke inneholder noen elektriske ladninger eller strømmer, kan man der benytte de to Maxwell-ligningene ∇ × D = ∂H/∂t og ∇ × E = - ∂B/∂t. Sammen med den vektoranalytiske identiteten

${\displaystyle \mathbf {H} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} )={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$ 

tar da resultatet formen

${\displaystyle \int _{V}\!d^{3}x{\Big (}{\partial u \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} ){\Big )}=0}$ 

Ved å innføre Poynting-vektoren S = E × H, må man derfor ha oppfylt ligningen

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {S} =0}$ 

Denne kan betraktes som en kontinuitetsligning for bevarelse av energi hvor Poynting-vektoren representerer energifluksen. Dette kommer tydeligere frem ved å benytte Gauss' divergensteorem i integralet slik at det kan omformes til

${\displaystyle {dU \over dt}=-\oint _{A}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} }$ 

hvor dA er differensielt flateelement på overflaten til volumet V. På denne formen ser man at Poyntings vektor angir strømmen av energi ut av volumet slik at energien i volumet avtar. Hadde man inkludert effekten av elektriske strømmer i denne utledningen, ville også energi ha gått tapt ved det elektriske arbeidet som disse ville ha utført under påvirkning av det elektromagnetiske feltet.

Energien som overføres gjennom en elektrisk krets er direkte forbundet med strømmene som går i kretsen. Men oppdagelsen av Poyntings vektor viste at denne energien i stor grad ikke er lokalisert til ledningene hvor strømmen går, men heller i rommet omkring. Denne innsikten kom Poynting selv til.^[2] Og den skulle bli av stor betydning noen få år senere da Heinrich Hertz viste hvordan slike kretser kunne generere elektromagnetisk stråling.

Dette kan illustreres ved de elektromagnetiske feltene i en koaksialkabel. Her fører den indre og ytre lederen strømmen i motsatte retninger. Etter Ampères sirkulasjonslov vil det derfor være et sirkulært magnetfelt i det isolerte sjiktet inni kabelen. Utenfor vil det være null da en lukket sløyfe rundt om kabelen omslutter to strømmer som nøyaktig kansellerer hverandre i bruk av loven. Samtidig er det et radielt, elektrisk felt inni kabelen bestemt av spenningen som kabelen er belastet med.

I det isolerte området mellom de strømførende lederne står derfor det elektriske og det magnetiske feltet vinkelrett på hverandre og danner en Poynting-vektor. Denne representerer energien som kabelen leverer til den lasten den er koblet til. Men i tillegg vil det være et mye svakere, elektrisk felt inni lederne som driver strømmen gjennom den. Kombinert med magnetfeltet gir dette en mye mindre Poynting-vektor som peker inn i lederne. Den representerer den ohmske energien som går tapt i lederne. Utenfor kabelen er Poynting-vektoren lik null da magnetfeltet her er null.

Hvordan energien i en elektrisk krets transporteres fra et batteri til en elektrisk motstand hvor den opptrer som ohmsk varme, blir tydeliggjort på samme måte ved å beregne feltene i kretsen slik at Poynting-vektoren i hvert punkt kan finnes. Alle kretselement som fører strøm, vil være omgitt av magnetfelt. Likedan vil det være elektriske felt mellom ledningene og i mindre grad langs disse for å drive strømmen. Som vist i illustrasjonen, fører dette med seg at det finnes en energistrøm bort fra batteriet. Noe av denne går gjennom rommet mellom ledningene hvorav en del strømmer inn i motstanden og varmer denne opp.

Denne energistrømmen kan beregnes.^[3] Hvis batteriet leverer strømmen I, er det elektriske feltet inni motstanden med radius a gitt som E = I/σπa² hvor σ er dens ledningsevne. Samtidig er det magnetiske feltet på dens overflate H = I/2πa. For å beregne energien som strømmer inn i motstanden, behøves størrelsen S = EH til Poynting-vektoren på dens overflate. Denne har arealet A = 2πab når den har lengden b. Per tidsenhet er da energifluksen inn i motstanden

${\displaystyle SA=RI^{2}}$ 

hvor R = b/σπa² størrelsen av motstanden. Og dette er akkurat den effekten som utvikles i motstanden så lenge batteriet leverer strøm.