Newtons skallteorem

Allerede i 1666 begynte Isaac Newton å tenke på muligheten for at Jordens gravitasjonskraft kunne strekke seg helt ut til Månen og holde denne i sin bane. I så fall er det nærliggende å betrakte både denne og Jorden som massive punktpartikler. Selv om han på dette tidspunktet var klar over at gravitasjonskraften fra Solen som virker på planetene, måtte avta med kvadratet av avstanden til dem for å kunne forklare Keplers lover, var det ikke opplagt at gravitasjonskraften fra Jorden som virker på et eple på dennes overflate, hadde en størrelse som kunne finnes ved å anta at hele Jordens masse er konsentrert i dens sentrum.^[1]

De første årene antok han bare at dette var en god tilnærmelse og kunne dermed forbinde Månens bevegelse med tyngdeakselerasjonen på Jorden. Men i 1685 fant han et geometrisk bevis for at denne antagelsen er eksakt riktig for en kulesymmetrisk massefordeling. Sammen med sin gravitasjonslov presenterte han teoremet i sitt store verk Principia i 1687.

Newtons opprinnelige bevis av skallteoremet var rent geometrisk og er vanskelig å følge. Men i dag finnes det tilsvarende geometriske betraktninger som er enklere å følge.^[2] Alternativt kan man forholdsvis lett komme frem til samme resultat ved å bruke trigonometri og integralregning.

Man tenker seg en liten masse m i en avstand r fra senteret til et tynt, kuleformet skall med radius R. For å beregne gravitasjonsfeltet g i dette punktet, tenker seg at skallet er delt opp i konsentriske ringer, hver med åpningsvinkel θ. Bidraget fra hver ring kan finnes på samme måte som det elektriske feltet på aksen til en ladet ring. Kun komponenten av feltet langs aksen vil bidra. Det bringer inn en faktor cosφ. Hver slik ring gir derfor opphav til et gravitasjonsfelt i denne retningen med størrelse

${\displaystyle dg=G{dM \over s^{2}}\cos \phi }$ 

hvor dM er massen til den tynne ringen. Hvis skallet har en total masse M, er flatetettheten gitt som σ = M/4π R². Massen til ringen er derfor dM = σ dA  hvor dens areal er dA = 2π R² sinθ dθ.

Det totale bidraget fra hele skallet finnes nå ved å integrere bidragene fra alle ringene som det er oppdelt i. Man må da velge en av de tre variable s, θ eller φ som uavhengig integrasjonsvariabel. De er alle tre forbundet ved trigonometriske relasjoner. Velger man å benytte avstanden s, vil den da variere fra r - R  til r + R  for å dekke hele kuleflaten. Sammenhengen mellom s og θ følger fra cosinussetningen som

${\displaystyle r^{2}+R^{2}-s^{2}=2rR\cos \theta }$ 

som gir sds = r R sinθ dθ. På samme måte kan vinkelen φ uttrykkes ved s som

${\displaystyle \cos \phi ={r^{2}+s^{2}-R^{2} \over 2rs}}$ 

Dermed er gravitasjonsfeltet i avstand r  fra skallets sentrum gitt ved integralet

${\displaystyle {\begin{aligned}g&={GM \over 4r^{2}R}\int _{r-R}^{r+R}\!ds\;{r^{2}+s^{2}-R^{2} \over s^{2}}={GM \over 4r^{2}R}\left[r+R-(r-R)+(r^{2}-R^{2})\left({1 \over r-R}-{1 \over r+R}\right)\right]\\&={GM \over 4r^{2}R}(2R+2R)={GM \over r^{2}}\\\end{aligned}}}$ 

Dette resultatet sier at det totale feltet er det samme som om hele massen M er plassert i skallets sentrum. Hvis nå man skal finne gravitasjonsfeltet utenfor en massive kule, kan dette deles opp i tynne skall. Ved å summerer bidragene fra alle skallene vil igjen gravitasjonsfeltet utenfor kulen være g = GM/r²  hvor nå M  er massen til hele kulen.

Når feltpunktet ligger innenfor kuleskallet, forblir trigonometrien svært lik. Men lengden s vil nå variere fra en korteste avstanden R - r  til den maksimale verdien R + r. Det totale bidraget er da gitt ved det nesten identiske integralet og gir

${\displaystyle g={GM \over 4r^{2}R}\int _{R-r}^{R+r}\!ds\;{r^{2}+s^{2}-R^{2} \over s^{2}}={GM \over 4r^{2}R}(2r-2r)=0}$ 

Gravitasjonsfeltet innenfor kuleskallet er derfor lik med null, uansett hvor feltpunktet befinner seg i dette området.

I dette tilfellet kommer man frem til samme resultat ved en enkel, geometrisk betraktning. Man tenker seg en vilkårlig, tynn kjeglemed toppunkt i feltpunktet. Denne avtegner to små flater på kuleskallet der den skjærer igjennom. De kan betraktes som to punktmasser som begge bidrar til feltet. Men da deres areal er proporsjonal med den lille romvinkelen som kjeglen definerer, vil begge disse bidragene oppheve hverandre da hvert bidrag er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden til toppunktet. .

Gravitasjonsfeltet innenfor en kule med symmetrisk fordelt masse M  kan lett finnes ved bruk av skallteoremet. I en avstand r  fra sentrum, vil det kun skyldes den delen M(r) av kulemassen som ligger innenfor denne radien. Derfor har man med en gang resultatet g(r) = GM(r)/r².

Antar man for enkelhets skyld at massetettheten er konstant, vil M(r) = Mr³/R³  der R er radius til hele kula. Det betyr at

${\displaystyle g(r)={GMr \over R^{3}}}$ 

Det stemmer med at på overflaten r = R av kula må man ha at g = GM/R². Utenfor kula r > R avtar feltet på vanlig måte som g(r) = GM/r².