Išvestinė

Išvestinė apibrėžia dydžio y pokytį, kintant kitam dydžiui x. Naudojant Δ simbolį pokyčiui užrašyti, išvestinę galima apibrėžti kaip santykio ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$  ribą, kai Δ x artėja į 0. Leibnico žymėjimu tai užrašoma

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ 

kur dy ir dx žymi be galo mažus dydžius. Formaliai dydžiai dy ir dx yra diferencialai, kurie nebūtinai yra be galo maži.

Tikslus išvestinės apibrėžimas:

${\displaystyle y'=f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$ 

Čia x gali reikšti fizikoje laiką, o f(x) yra funkcija nusakanti nueitą kelią po tam tikro laiko x. Jei padalinsime f(x) iš x gausime vidutinį greitį taško, kuris nuėjo kelią nuo 0 iki f(x) (per laiko tarpą nuo 0 iki x). Išvestinė apskaičiuoja momentinį greitį laiko momentu x. Galima vietoje ${\displaystyle \Delta x}$  parinkti labai mažą reikšmę ir apytiksliai apskaičiuoti tos ar kitos funkcijos išvestinę nedarant jokių transformacijų, bet tada nebus galima integruoti, o integruojant galima apskaičiuoti tai ką su elementariąja matematika reikėtų skaičiuotį labai ilgai (norint apskaičiuot tiksliai).

Funkcijos f išvestinė taške x gali būti užrašoma įvairiai:

Sakoma, kad funkcija taške x yra diferencijuojama, jei tame taške egzistuoja išvestinė. Funkcija diferencijuojama intervale, jei funkcija diferencijuojama kiekviename intervalo taške. Jei funkcija nėra tolydi taške x, ji nėra diferencijuojama tame taške.

Funkcijos išvestinė taip pat gali būti diferencijuojama. Išvestinės išvestinė vadinama antrine išvestine.

• Bendri atvejai:
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\,C=0}$ .
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$ .
• Logaritminės funkcijos:
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}$ .
  • ${\displaystyle \log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}}$ .
• Rodiklinės funkcijos:
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}e^{x}=e^{x}\ln e=e^{x}}$ .
  • ${\displaystyle {\frac {d}{\,dx}}a^{x}=a^{x}\log _{e}a=a^{x}\ln a}$ .
• Trigonometrinės funkcijos
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\sin x=\cos x}$ .
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\cos x=-\sin x}$ .
  • ${\displaystyle {d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}}$ .
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\csc x=({\frac {1}{\sin x}})'=-\csc x\cot x=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}}$ .
  • ${\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\sec x=({\frac {1}{\cos x}})'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\tan x}$ .
  • ${\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}}$ .

• Bendri atvejai:
  • ${\displaystyle (x^{m})^{(n)}=m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1)x^{m-n}}$ 
  • ${\displaystyle (a^{x})^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a}$ 
  • ${\displaystyle (e^{x})^{(n)}=e^{x}}$ 
• Tiesinės trupmeninės funkcijos n-toji išvestinė:
  • ${\displaystyle ({\frac {ax+b}{cx+d}})^{(n)}=(ad-bc)(-1)^{n-1}n!(cx+d)^{-n-1}c^{n-1}}$ 
• Sandaugos išvestinė sutampa su binomo formule, tik vietoje laipsnio rašoma išvestinė:
  • ${\displaystyle (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+C_{n}^{1}u^{(n-1)}v'+C_{n}^{2}u^{(n-2)}v^{(2)}+C_{n}^{3}u^{(n-3)}v^{(3)}+\dots +uv^{(n)}}$ 
• Trigonometrijoje:
  • ${\displaystyle (\sin x)^{(n)}=\sin(x+n{\frac {\pi }{2}})}$ 
  • ${\displaystyle (\cos x)^{(n)}=\cos(x+n{\frac {\pi }{2}})}$ 

kur (n) yra n-tos eilės išvestinė.

Pavyzdžiai

• Iš kvadratinio skardos lapo, kurio kraštinės ilgis yra a, reikia pagaminti didžiausio tūrio stačiakampio gretasienio formos indą (be dangčio), kurio pagrindas būtų kvadratas.

Išpjaunamo kvadrato kraštinės ilgį žymėkime x. Kadangi indo pagrindas yra kvadratas, tai 0<x<a/2, ir indo tūrį išreiškiame formule

${\displaystyle V(x)=(a-2x)^{2}x=(a^{2}-4ax+4x^{2})x=a^{2}x-4ax^{2}+4x^{3}.}$ 

Taigi reikia rasti didžiausia funkcijos V(x) reikšmę atkarpoje (0; a/2). Kadangi

${\displaystyle V'(x)=(a^{2}x-4ax^{2}+4x^{3})'=a^{2}-8ax+12x^{2},}$ 

tai išsprendę lygtį ${\displaystyle 12x^{2}-8ax+a^{2}=0}$ , rasime funkcijos V(x) stacionariuosius taškus. Pirma surasime diskriminantą:

${\displaystyle D=(-8a)^{2}-4\cdot 12\cdot a^{2}=64a^{2}-48a^{2}=16a^{2}.}$ 

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-(-8a)\pm {\sqrt {16a^{2}}}}{2\cdot 12}}={\frac {8a\pm 4a}{24}};x_{1}={\frac {a}{2}},x_{2}={\frac {a}{6}}.}$ 

Sprendinys a/2 netinka, nes netinka lygybės 0<x<a/2. Įstatę a/6 reikšmę į pirmą lygti gauname didžiausio tūrio atsakymą:

${\displaystyle V(x)=(a-2x)^{2}x=(a-2{\frac {a}{6}})^{2}{\frac {a}{6}}=({\frac {3a-a}{3}})^{2}\cdot {\frac {a}{6}}={\frac {4a^{2}}{9}}\cdot {\frac {a}{6}}={\frac {2a^{3}}{27}},}$ 

tai funkcija V(x) įgyja didžiausią reikšmę atkarpoje (0; a/2), kai x=a/6. Taigi, kai x=a/6, indo tūris bus didžiausias:

${\displaystyle V({\frac {a}{6}})={\frac {2a^{3}}{27}}.}$ 

Jeigu, pavyzdžiui, a=6, tai x=a/6=6/6=1, o tūris lygus:

${\displaystyle V(a/6)=V(1)={\frac {2\cdot 6^{3}}{27}}={\frac {432}{27}}=16.}$ 

• Reikia pagaminti cilindro formos skardinę 2 l talpos dėžute, uždarą iš viršaus ir apačios.

Kokie turi būti jos matmenys, kad būtų sunaudota mažiausiai skardos?

${\displaystyle V=2000\;(cm^{3});}$  ${\displaystyle V=\pi r^{2}h=2000;}$  ${\displaystyle h={\frac {2000}{\pi r^{2}}};}$ 

${\displaystyle S_{pav.}=2\pi rh+2\pi r^{2}={\frac {4000}{r}}+2\pi r^{2}.}$ 

Reikia rasti funkcijos ${\displaystyle S_{pav.}=S(r)}$  minimumą.

${\displaystyle S_{r}'=({\frac {4000}{r}}+2\pi r^{2})'=-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r;}$ 

${\displaystyle -{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r=0;}$ 

${\displaystyle 4\pi r^{3}=4000;}$ 

${\displaystyle r^{3}={\frac {1000}{\pi }};}$ 

${\displaystyle r_{min}=({\frac {1000}{\pi }})^{\frac {1}{3}}={\frac {10}{\pi ^{1/3}}};}$ 

${\displaystyle h_{min}={\frac {2000}{\pi r_{min}^{2}}}={\frac {2000}{\pi ({\frac {10}{\pi ^{1/3}}})^{2}}}={\frac {2000}{\pi {\frac {100}{\pi ^{2/3}}}}}={\frac {20}{\pi ^{\frac {1}{3}}}}.}$ 

• Laivo ekipažo išlaikymui kas valandą išleidžiama 480 eurų. Suvartojamo kuro kiekis yra proporcingas laivo greičio kubui. Plaukiant 10 mazgų greičiui, per valandą kuro sudeginama už 30 eurų. Kokiu pastoviu greičiu turi plaukti laivas, kad bendros išlaidos būtų minimalios?

Sakykime, b yra bendros išlaidos per valandą. Tada b=480+i; čia i yra sudeginto kuro kaina. Remiantis sąlyga, ${\displaystyle i=kv^{3}}$  čia k - proporcingumo koeficientas, v - greitis. Iš uždavinio sąlygos žinome, kad i=30, kai v=10, todėl ${\displaystyle 30=10^{3}k,}$  t. y. ${\displaystyle k=30/10^{3}=0.03.}$  Taigi ${\displaystyle b=480+0.03v^{3}.}$  Bendros išlaidos ${\displaystyle B=t(480+0.03v^{3});}$  čia t - laikas.

Iš fizikos žinome, kad, kai judėjimas yra tolygus, t=s/v; čia s - kelio ilgis. Taigi

${\displaystyle B(v)={\frac {s}{v}}(480+0,03v^{3})=480{\frac {s}{v}}+0.03sv^{2},}$ 

o v>0.

Rasime funkcijos B(v) kritinius taškus. Kadangi

${\displaystyle B'(v)=-{\frac {480s}{v^{2}}}+0.06sv,}$ 

tai išsprendę lygtį

${\displaystyle -{\frac {480s}{v^{2}}}+0.06sv=0,}$ 

${\displaystyle -{\frac {480s}{v^{2}}}=-0.06sv,}$ 

${\displaystyle 480s=0.06sv^{3},}$ 

${\displaystyle {\frac {480s}{0.06s}}=v^{3},}$ 

${\displaystyle 8000=v^{3},}$ 

${\displaystyle v=20.}$ 

Lengvai galime nustatyti, kad taške v=20 funkcija B(v) turi minimumą, o taškas v=0 nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. Taigi išlaidos bus tuo artimesnės minimalioms, kuo greitis bus artimesnis 20 mazgų.

• Rasime didžiausio didžiausio ploto stačiakampį, kurio perimetras P.

Stačiakampių, kurių perimetras P, yra begalinė aibė. Iš tos stačiakampių aibės turime išrinkti stačiakampį, kurio plotas S būtų didžiausias. Sakykime, stačiakampio kraštinių ilgiai yra x ir y. Jo plotas ${\displaystyle S=xy}$ , o perimetras ${\displaystyle P=2x+2y;}$  ${\displaystyle P-2x=2y;}$  ${\displaystyle y={\frac {P-2x}{2}}.}$  Vadinasi ${\displaystyle S(x)=x{\frac {P-2x}{2}}={\frac {xP}{2}}-x^{2}.}$  Dabar ieškosime funkcijos S(x) didžiausios reikšmės, kai ${\displaystyle 0<x<{\frac {P}{2}}.}$  Tuo tikslu randame

${\displaystyle S'(x)=({\frac {xP}{2}}-x^{2})'={\frac {P}{2}}-2x;}$ 

${\displaystyle {\frac {P}{2}}-2x=0;}$  ${\displaystyle {\frac {P}{2}}=2x;}$  ${\displaystyle x={\frac {P}{4}}.}$  Taigi funkcijos S(x) kritinis taškas yra ${\displaystyle x={\frac {P}{4}}.}$ 

Toliau nagrinėsime aibę funkcijos S reikšmių taškuose ${\displaystyle x_{1}=0,}$  ${\displaystyle x_{2}=P/4}$  ir ${\displaystyle x_{3}=P/2.}$  S(0)=0, S(P/2)=0,

${\displaystyle S({\frac {P}{4}})={\frac {{\frac {P}{4}}P}{2}}-({\frac {P}{4}})^{2}={\frac {P^{2}}{8}}-{\frac {P^{2}}{16}}={\frac {P^{2}}{16}}.}$ 

Taigi ${\displaystyle S({\frac {P}{4}})={\frac {P^{2}}{16}}}$  yra didžiausia funkcijos reikšmė atkarpoje [0; P]. Vadinasi plotas butų didžiausias kai ${\displaystyle x={\frac {P}{4}}.}$  Dabar rasime y:

${\displaystyle y={\frac {P-2x}{2}}={\frac {P-2{\frac {P}{4}}}{2}}={\frac {P}{2}}-{\frac {P}{4}}={\frac {P}{4}}.}$ 

Taigi x=y, t. y. ieškomasis stačiakampis yra kvadratas, kurio kraštinės ilgis lygus ${\displaystyle {\frac {P}{4}}.}$ 

• Išvestinių lentelė